Gadījumnotikumu varbūtības un darbības ar varbūtībām

2. Gadījumnotikumu varbūtības un darbības ar varbūtībām

2.1. Pamatjēdzieni un definīcijas

2.1.1. Notikumi varbūtību teorijas izpratnē

Ar notikumu vabūtību teorijā saprot jebkuru faktu, kuru var konstatēt novērojuma vai izmēģinājuma rezultātā.

Par novērojumu vai izmēģinājumu sauc zināmu apstākļu realizāciju, kā rezultātā var iestāties notikums. Izmēģinājums nozīmē aktīvu interesējošā apstākļu kompleksa radīšanu. Novērojuma gaitā novērotājs pats šo apstākļu kompleksu nerada. To rada vai nu dabas spēki vai citi cilvēki.

Par droši sagaidāmu sauc notikumu, kas iestājas vienmēr, ja ir izveidojusies zināma apstākļu kopa.

Par neiespējamu sauc notikumu, kurš noteikti neiestājas, ja ir izveidojusies zināma apstākļu kopa.

Par gadījumnotikumu sauc notikumu, kurš, pastāvot zināmai apstākļu kopai, var notikt un var arī nenotikt.

Notikumus sauc par savienojamiem, ja tie var notikt kopēji viena novērojuma vai izmēģinājuma rezultātā. Piemēram, aptaujājot kārtējo pircēju, kas ienāk veikalā (izdarot novērojumu), izrādās, ka tā ir sieviete (viens fakts jeb notikums) un latviete (otrs fakts jeb notikums). Šie notikumi ir savstarpēji savienojami.

Notikumus sauc par nesavienojamiem, ja tie nevar notikt viena novērojuma vai izmēģinājuma rezultātā. Piemēram, ņemot no nesašķirotu detaļu kastes vienu izstrādājumu, tas var būt vai nu derīgs vai brāķis. Derīgas un brāķa detaļas paņemšana ir nesavienojami notikumi.

Ja ir zināms vai var iedomāties visus notikumus, no kuriem vismaz vienam ir jārodas izmēģinājuma rezultātā, tad tie veido pilnu notikumu kopu.

Piemēram, izpildot loto spēles kartīti, jānosvītro 5 skaitļi. Ir iespējams pareizi nosvītrot 0, 1, 2, 3, 4, 5 skaitļus. Papildus nosakot, ka kartīte izpildīta pareizi, citi notikumi nevar notikt. Uzrādītie notikumi veido pilnu kopu.

Ja pilnu notikumu kopu veido tikai divi nesavienojami notikumi, tad tos sauc par savstarpēji pretējiem, jeb alternatīviem. Alternatīvs skatījums ir iespējams arī tad, ja pilnu kopu sākotnēji veido vairāki notikumi. Piemēram, nesašķirotu detaļu kastē ir I, II un III šķiras derīgas detaļas un nestandarta detaļas ar dažādiem defektiem. Ņemot vienu detaļu un novērtējot, vai tā ir derīga, vai brāķis, realizējam alternatīvu skatījumu. Šeit ir tikai divi savstarpēji nesavienojami notikumi. Papildus fiksējot derīgas detaļas šķiru un brāķa detaļas defektu veidu, alternatīvais skatījums zūd. Tad pilnu kopu veido vairāk nekā divi nesavienojami notikumi.

Varbūtību teorijā notikumus parasti apzīmē ar lielajiem latīņu burtiem A, B, C utt. Tiem pretējos notikumus apzīmē ar tādiem pat burtiem, virs tiem liekot svītriņu:

Kodējot apzīmējumus darbam ar datoru, izdevīgi izmantot skaitļu apzīmējumus.

Notikumus sauc par vienādi iespējamiem, ja novērojums vai izmēģinājums ir organizēts tā, lai visiem notikumiem būtu objektīvi vienāda iespēja notikt katra izmēģinājuma rezultātā.

Šo jēdzienu viegli pārprast, tādēļ tas jāpaskaidro plašāk.

Pieņemsim, ka nesašķirotu detaļu kastē ir 90 derīgas un 10 brāķa detaļas. Ņemot nejauši vienu detaļu, nevar cerēt, ka būs vienāda iespēja paņemt derīgu un brāķa detaļu. Tas arī nav vajadzīgs. Lai notikumi būtu vienādi iespējami un lai izmēģinājuma rezultātus varētu novērtēt ar varbūtību teoriju, ir jānodrošina, lai būtu vienāda iespēja paņemt katru no kastē esošajām 100 detaļām. Runājot par vienādi iespējamiem notikumiem, pilna notikumu kopa šeit nav jāsaprot kā sastāvoša no diviem notikumiem (derīga, vai nederīga detaļa), bet no 100 notikumiem, iedomājoties ka detaļas numurētas.

Līdz ar to ir lietderīgi no visiem notikumiem izdalīt elementāros notikumus. Par elementāriem sauc tādus notikumus, kurus nevar vairs tālāk detalizēt. Piemēram, elementārs notikums būs nejauši paņemt no kastes 27-to detaļu. Paņemt derīgu detaļu nav elementārs notikums, jo tas var notikt, paņemot jebkuru no 90 numurētām derīgām detaļām.

Vienādu iespēju kā priekšnoteikumu parasti attiecina uz elementāriem notikumiem. Līdz ar to neelementāru notikumu iestāšanās nav vienādi iespējama. Viņu iestāšanās iespēju var noteikt skaitliski ar varbūtības palīdzību.

Praktiski elementāru notikumu vienādu iespēju nodrošina novērotāja neitralitāte pret novērojuma rezultātiem. Šeit ir analoģija ar izlases metodi. Turpinot piemēru, ir jānodrošina, lai atlases izdarītājs ņemamo detaļu nenovērtētu vizuāli vai kā citādi un apzināti vai neapzināti nedotu priekšroku derīgām vai brāķa detaļām. Ja tādu iepriekšēju novērtēšanu izdara, novērojuma rezultātus vairs nevar novērtēt ar varbūtību teorijas metodēm.

Par iespējām sauc potenciālus notikumus, kas ir pamats kāda reāla notikuma notikšanai. Turpinot piemēru par kasti ar 100 detaļām, tajā ir 90 iespējas paņemt derīgu detaļu un 10 iespējas paņemt brāķa detaļu.

Izmantojot iespēju jēdzienu, izveido klasisko vabūtības definīciju.

2.1.2. Vabūtības definīcijas

Varbūtība ir skaitlis, kas raksturo, cik droši ir sagaidāma kāda notikuma notikšana. Bet šāds izteikums vēl nav varbūtības definīcija.

Varbūtības jēdzienu viegli uztvert intuitīvi, bet samērā grūti definēt precīzi, atklājot šī jēdziena daudzpusīgos aspektus. Ir zināmas vairākas varbūtības definīcijas un skaidrojumi. Katram no tiem ir savas priekšocības un savi trūkumi.

Visvecākā un saprotamākā ir klasiskā varbūtības definīcija. Tā balstās uz iespēju (potenciālu notikumu) tiešu saskaitīšanu, iespēju skaitu pretstatot visam vienīgi iespējamo notikumu skaitam.

Par notikumam labvēlīgām iespējām sauc tās iespējās, kas nodrošina šī notikuma notikšanu. Visbiežāk tie ir elementāri notikumi iepriekš minētā izpratnē.

Piemēram, traukā ir 100 loterijas biļetes, no kurām 10 biļetēs ir atzīmēts laimests, bet pārējās ir tukšas. Tātad ir 10 labvēlīgas iespējas paņemt laimējošu biļeti no 100 iespējām pavisam.

Ja labvēlīgo iespēju skaits ir zināms (piemērā 10) un ir zināms visu vienādi un vienīgi iespējamo notikumu - iespēju skaits, (piemērā 100), tad varbūtību var definēt šādi:

Par notikuma A varbūtību sauc šim notikumam labvēlīgo iespēju skaita M attiecību pret visu vienādi un vienīgi iespējamo nesavienojamo, elementāro notikumu skaitu N, kuri var rasties viena izmēģinājuma vai novērojuma rezultātā.

Varbūtību apzīmē ar burtu P, aiz tā iekavās liekot gadījumnotikuma simbolu.

. (2.1)

Ja uzdevumā operē tikai ar viena notikuma varbūtību, tad to var apzīmēt ar mazo p bez gadījuma notikuma simbola norādes.

Var izmantot simbolus utt.

Varbūtību laimēt piemēra ietvaros ir vienkārši izrēķināt. Tā kā pavisam traukā ir 100 lozes ( tās ir labi sajauktas un nav iezīmētas), tātad visu ložu paņemšanas iespējas ir vienādas. Starp tām ir 10 labvēlīgas iespējas. Līdz ar to N = 100 un M = 10, no kā seko, ka

Klasisko varbūtību sauc arī par aprioro varbūtību, jo to izrēķina pirms novērojuma vai izmēģinājuma uzsākšanas.

Klasiskās varbūtības definīcijas galvenais trūkums ir tās ierobežotās lietošanas iespējas. Lai lietotu šo definīciju un formulu (2.1), ir iepriekš jāsaskaita visas iespējas un tajā skaitā - interesējošajam notikumam labvēlīgās iespējas. To var izdarīt, organizējot dažādas izlozes un spēles, bet nevar izdarīt ne dabas, ne sociālo zinātņu pētījumos. Piemērs, ka kastē ir 100 detaļas, no kurām 10 ir brāķis, ir samākslots. Ja detaļas būs pārbaudītas, tās nekad atkal nesabērs vienā kastē. Tādēļ klasiskās varbūtības definīcijas lietošanas apgabals aprobežojas ar dažādām loterijām un spēlēm.

Vēsturiski varbūtību teorija arī ir radusies kā spēļu teorija, kaut gan tagad to lieto gandrīz visās zinātnes nozarēs. Spēļu rīki un noteikumi vienmēr ir izstrādāti tā, lai iepriekš varētu saskaitīt dažādu elementāru notikumu un iespēju skaitu, kas nosaka spēles rezultātus.

Katram spēļu automātam kādā slēptā vietā atrodas rokturis, ar kuru automāta īpašnieks var nostādīt sev vēlamo peļņas normu.

Tehniski pilnīgi iespējams, ka modernie spēļu automāti ir vadāmi no attāluma. Kamēr spēlētājs vēl nav iekarsis un rūpīgi seko panākumiem, īpašnieks var peļņas normu ar tālvadības pulti nostādīt tuvu nullei. Bet, kad spēlētāja galvā jau sakāpis viskijs un džins un viņš nonācis azartā, peļņas normu var pacelt daudzkārt lielāku. Cits jautājums, kādā mērā likums šādas manipulācijas atļauj un kā tās kontrolē.

Lai spēļu uzņēmējdarbību padarītu rentablu, viss dažkārt sarežģītais spēles algoritms ir jāapraksta ar varbūtības teorijas kategorijām un vajadzības gadījumā jāprogrammē.

Tā kā spēļu situācijas ir pašas vienkāršākās un tur var pielietot klasisko varbūtību teoriju, viņas plaši izmanto mācību procesā. Vismaz - tā sākuma stadijā. Tomēr pārmērīga šo piemēru izmantošana, kā tas ir dažās grāmatās, var radīt nepareizu priekšstatu, ka varbūtību teorija ir galvenokārt spēļu teorijas daļa. Mūsdienās, protams, tā nav.

Daudz plašāks ir statistiskās varbūtības definīcijas lietojums. Tā izmanto relatīvā biežuma jēdzienu. Par notikuma A relatīvo biežumu sauc novērojumu skaita, kad A novērots, attiecību pret visu novērojumu skaitu. Relatīvo biežumu parasti apzīmē ar burtu V. Ja ir izdarīti n novērojumi un notikums ir reģistrēts m reizes, tad

. (2.2)

Ja, izdarot preču kvalitātes pārbaudi, ir nejauši atlasīti 100 izstrādājumi un no tiem 98 izrādījās derīgi, bet 2 - brāķis, tad derīgo izstrādājumu relatīvais biežums ir

Tālāk statistiskā varbūtības definīcija balstās uz relatīvā biežuma stabilitāti. Ja pārbaudītās preces piegādā viens un tas pats uzņēmums un savu ražošanas tehnoloģiju nemaina, tad, pārbaudot citas analogas partijas, derīgo izstrādājumu īpatsvars varētu būt 0,99, 0,97, 0,96, 1,00, 0,98, bet nav domājams, ka tas būs 0,25 vai 0,57. Relatīvais biežums dažādās vienos apstākļos izdarītās novērojumu sērijās svārstās ap kādu šiem apstākļiem raksturīgu lielumu.

Skaitli, ap kuru svārstās relatīvais biežums atsevišķās izmēģinājumu vai novērojumu sērijās, sauc par notikuma A statistisko varbūtību.

Ir novērots, ka šīs svarstības ir jo mazākas, jo lielākas ir novērojumu sērijas. Tādēļ statistisko varbūtību definē kā robežu:

. (2.3)

Pilnīgi precīzu statistisko varbūtību nevar aprēķināt, jo nevar izdarīt bezgalīgi daudz novērojumu. Bet vienmēr var noteikt tās tuvinātu vērtību. Tuvinājums būs labāks, ja būs vairāk novērojumu.

Šīs metodes izšķiroša priekšrocība ir tā, ka pirms varbūtības aprēķināšanas nav jāzina notikuma iestāšanās iespēju skaits. Nav vajadzīgas aprioras zināšanas par pētījuma objektu.

Citiem vārdiem, ja klasiskā varbūtība ir jānosaka pirms novērojuma, tad statistiskā varbūtība ir novērojuma vispārināšanas rezultāts.

Klasiskā varbūtība asociējas ar deduktīvo, bet statistiskā - ar induktīvo izziņas procesu. Tādēļ tās ir dažādi kopējā izziņas procesa aspekti. Ir meģināts izstrādāt varbūtības definīcijas, kas sintezē šos aspektus. Piemēram, tā sauktā aksiomātiskā varbūtības definīcija balstās uz abstraktu matemātisku kopu jēdzieniem un šo kopu pretstatījumu. Tai ir nozīme teorētiskajā matemātikā. Tādā ceļā veidotas definīcijas sākotnējai izpratnei ir sarežģītas un tiešā veidā praksē grūti izmantojamas.

Statistiskās varbūtības plaši izmanto, piemēram, apdrošināšanas darbā. Ja runājam par dzīvības apdrošināšanu, nepieciešamo apdrošināšanas maksu jeb prēmiju nosaka, vadoties no t.s. izdzīvošanas jeb mirstības tabulām. Šajās tabulās, vadoties no statistikas datiem, ir aprēķināta varbūtība katram noteikta dzimuma un vecuma iedzīvotājam nomirt nākošā mūža gadā. Jo šī varbūtība lielāka, jo tiek prasīta lielāka apdrošināšanas prēmija. Izdzīvošanas tabulās ietver arī vairākus citus interesantus rādītājus, piemēram, vidējo priekšā stāvošo (sagaidāmo) gadu skaitu.

Vēl ir lietderīgi iepazīties ar ģeometrisko varbūtību jeb varbūtības ģeometrisko interpretāciju.

Šis aspekts ir nepieciešams tad, ja pilna notikumu kopa sastāv no neierobežoti daudziem elementāriem notikumiem. Tad katra atsevišķa elementāra notikuma varbūtība ir tik niecīga, ka to kā robežu var uzlūkot par nulli. Tad interesējamies par kādas notikumu apakškopas varbūtību, kuru kaut kādā veidā var izdalīt no pilnās notikumu kopas.

Pilno notikumu kopu attēlojam ar vienu ģeometrisku figūru, bet interesējošo jeb labvēlīgo kopu - ar citu pirmajā figūrā ietvertu figūru. Tad atsevišķus elementāros notikumus var iedomāties kā punktus, kuri visi nonāk lielajā figūrā, bet daļa no tiem nejauši arī mazajā. Ja punktu sadalījums lielās figūras ietvaros ir vienmērīgs, tad varbūtību, ka gadījuma notikums (punkts) nonāks izdalītajā kopā (mazajā figūrā), var aprēķināt kā šo figūru laukuma attiecību:

. (2.4)

Figūras nevar interpretēt kā laukumus ģeogrāfiskā kartē!

Reālu procesu, kas atbilst ģeometriskās varbūtības saturam, var iedomāties šādi. Ir jāizgatavo medikaments (zāles) tablešu veidā, pie kam katra tablete satur 1/1000 grama darbīgās vielas. Lai tabletes būtu ērti lietojamas, pieņemam, ka katras tabletes svaram jābūt 1 gr. lielam.

Iesvērt 1/1000 gr. atsevišķi katrai tabletei praktiski nav iespējams. Tādēļ ņem 1 gr. darbīgās vielas un 1 kg nekaitīgas, neitrālas balastvielas un tās maksimāli rūpīgi sajauc (parasti šķīduma veidā, jo pulverveidā tas grūti iespējams). Pēc tam ņem 1 gr. maisījuma un samērā droši cer, ka tas saturēs ap 1/1000 gr. darbīgās vielas. (1kg masa šeit saskaņā ar formulu ir S, bet 1 gr. darbīgās vielas masa ). Saskaitīt un aprēķināt katras molekulas varbūtību nonākt kārtējā tabletē nav iespējams.

2.1.3. Varbūtības galvenās īpašības

1. Droši sagaidāma notikuma varbūtība ir viens.

Ja labvēlīgo iespēju skaits sakrīt ar visu iespēju skaitu, tad M = N un no klasiskās varbūtības definīcijas izriet, ka viņu dalījums ir viens.

2. Neiespējama notikuma varbūtība ir nulle.

Ja izdarot novērojumu, kādam notikumam nav labvēlīgu iespēju, tad M = 0 un no formulas (2.1) redzams, ka varbūtība ir nulle.

3. Gadījumnotikuma varbūtība ir skaitlis, lielāks par nulli un mazāks par vienu.

Ja notikums ir gadījumnotikums, tad tam labvēlīgo iespēju skaits ir mazāks par visu iespēju skaitu, tātad M < N, no kā seko, ka

0 < P(A) < 1. (2.5)

Šīs īpašības izriet arī no varbūtības statistiskās definīcijas. Ja statistiskā kopa sastāv vismaz no divām daļām, tad katras daļas relatīvais biežums ir mazāks par vienu. Daži autori šīs īpašības uzlūko par aksiomām, citi tās pierāda, izejot no varbūtības definīcijas.

4. Praktiskajā interpretācijā varbūtības var izteikt arī procentos. Tam nolūkam varbūtība viena daļās ir jāpareizinā ar simtu. Līdz ar to gadījuma notikuma varbūtība vienmēr ir lielāka par 0 un mazāka par 100%. Matemātikā varbūtību izsaka viena daļās. Ar viena daļās izteiktu varbūtību daudz ērtāk izpildīt dažādas matemātiskas darbības.

5. Praktiskā darbā notikumu uzlūko par droši sagaidāmu, ja tā iestāšanās varbūtība ir tuva vienam. Notikumu uzlūko par praktiski neiespējamu, ja tā varbūtība ir tuva nullei. Kādas varbūtības dod iespēju izdarīt šādus secinājumus, ir atkarīgs no tā, cik nevēlamas vai pat bīstamas ir sekas, ja notikums ar kuru rēķināmies kā ar drošu, tomēr nenotiek un otrādi.

Piemēram, ja students cer nokārtot eksāmenu ar varbūtību 0,9, viņš uz eksāmenu droši vien ieradīsies. Bet, ja tas pats students lidostā saņems brīdinājumu, ka varbūtība sekmīgam reisam ir 0,999 (tikai katrā tūkstošajā reisā lidmašīna nogāžas), viņš droši vien atteiksies no lidojuma.

Mācību literatūrā un virknē praktisku uzdevumu par droši sagaidāmu uzlūko notikumu, ja tā notikšanas varbūtība ir 0,95 vai 0,99. Atbilstoši par neiespējamu uzlūko notikumu, kura notikšanas varbūtība ir 0,05 vai 0,01. Tehnikā šīs varbūtības parasti vajadzīgas augstākas, vismaz 0,999, resp. 0,001.

Pārbaudot statistiskās hipotēzes, varbūtību, ar kuru kādu apgalvojumu var pieņemt par praktiski neiespējamu, sauc arī par nozīmības līmeni. Parasti lieto 0,1; 0,05; 0,01 nozīmības līmeni. No šabloniskas pieejas vajadzētu izvairīties.

2.2. Vienkāršākās darbības ar varbūtībām

Darbības ar varbūtībām izdara tad, ja kādu notikumu varbūtības ir zināmas, bet jāaprēķina kādu citu notikumu varbūtības, kuri ar pirmajiem ir saistīti. Vienkāršākajos uzdevumos ir dotas elementāro notikumu varbūtības, bet jāaprēķina salikto jeb neelementāro notikumu varbūtības. Tādus uzdevumus atrisina, izdarot vienkāršas darbības ar varbūtībām. Lai atrisinātu sarežģītākus uzdevumus, parasti vajag sastādīt vienādojumus vai to sistēmas, kurās ietilpst varbūtības.

2.2.1. Nesavienojamu notikumu varbūtību saskaitīšana

Varbūtību saskaitīšanu lieto tad, ja ir jāaprēķina gadījuma notikumu apvienojuma jeb loģiskās summas varbūtība. Sākumā aplūkosim uzdevumus, kur ir runa tikai par diviem savstarpēji nesavienojamiem gadījuma notikumiem.

Lai uzdevumi būtu maksimāli vienkārši, izmantosim piemēru no klasiskās teorijas resp. spēļu situācijām.

Piemēram, vienojas, ka spēles situācijā uzvar tad, ja, metot spēļu kauliņu, uzkrīt skaitlis 6 vai 5. Jāaprēķina varbūtība uzvarēt kārtējā mēģinājumā.

Analīze. Pareizam spēļu kauliņam ir 6 skaldnes, kurām visām pēc metiena ir vienāda iespēja palikt virspusē, kur nolasa skaitli. Tā kā viena no skaitļiem 1 līdz 6 uzkrišana ir droši sagaidāms notikums, kura varbūtība ir 1, tad šī varbūtība 1 ir jāsadala sešās līdzīgās daļās, iegūstot varbūtību, ar kādu var sagaidīt vēlamā skaitļa uzkrišanu.

Līdz ar to

Tās ir elementāro notikumu varbūtības, kuras nosaka pirms mēģinājuma.

Skaitļa 6 vai 5 uzkrišana, kas ved pie uzvaras, ir neelemantārs notikums, kurš veidojas no diviem elementāriem notikumiem. Tā ka vienā metienā var uzkrist tikai viens skaitlis, abi elementārie notikumi ir nesavienojami.

Par divu gadījuma notikumu A un B apvienojumu sauc notikumu C, kurš jāsaprot kā A vai B, vai A un B kopēja notikšana (pēdējā piemērā nav iespējama).

Notikumu apvienojumu matemātiskā apzīmē šādi

kur U - apvienošanas zīme, ko lasa ar vārdu ''vai''. Ja A un B ir nesavienojami, tad to kopējas notikšanas varbūtība ir nulle. Līdz ar to varbūtību, ka viena izmēģinājuma rezultātā notiks viens no šiem notikumiem, aprēķina kā abu notikumu varbūtību summu:

. (2.6)

Piemērā

Brīdinājums! Šo formulu nevar lietot, ja gadījumnotikumi ir savstarpēji savienojami. Piemēram, vienojas, ka metot spēļu kauliņu uzvar tad, ja uzkrīt 6 vai pārskaitlis. Uzkrītot 6, ir uzkritis arī pāskaitlis. Tādēļ šeit pietiek rēķināt vienīgi pārskaitļa uzkrišanas varbūtību . Pieskaitot vēl skaitļa 6 uzkrišanas varbūtību, pieļausim dublēšanu, iegūstot kļūdainu rezultātu.

Varbūtību saskaitīšanas teorēmu var attiecināt uz vairāk nekā diviem nesavienojamiem gadījumnotikumiem:

. (2.7)

No varbūtību saskaitīšanas teorēmas izriet, ka pilnu kopu veidojošu gadījuma notikumu varbūtību summa ir viens

, (2.8)

ja - pilna notikuma kopa. Šo īpašību bieži izmanto aprēķinu loģiski aritmetiskai kontrolei. Aksiomātiskajā varbūtību teorijā šo apgalvojumu pieņem kā aksiomu.

Iepriekšējās formulas sekas ir apgalvojums, ka divu pretēju notikumu varbūtību summa ir viens

, (2.9)

jo tie veido pilnu kopu.

Pretēju notikumu varbūtības bieži apzīmē ar p un q. Tādējādi

p + q = 1. (2.10)

Ja viena pretēja notikuma varbūtība ir zināma, otru viegli aprēķināt pēc šīs sakarības.

2.2.2. Neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšana

Varbūtību reizināšanu lieto, ja ir jāaprēķina gadījuma notikumu šķēluma jeb kopējas notikšanas varbūtība. Vienkāršākajā gadījumā šiem notikumiem jābūt savstarpēji neatkarīgiem.

Divus gadījuma notikumus sauc par savstarpēji neatkarīgiem, ja viena notikuma iestāšanās varbūtība nav atkarīga no tā, vai otrs notikums jau noticis vai nē ( un arī otrādi).

Par divu gadījuma notikumu A un B šķēlumu jeb reizinājumu sauc notikumu D, kurš jāsaprot kā A un B kopēja notikšana. Varbūtību teorijā notikumu šķēlumu apzīmē šādi , kur šķēluma (loģiskā reizinājuma) zīme. To lasa kā ''un''.

Varbūtību reizināšanu pamato šāda teorēma.

Divu neatkarīgu gadījumnotikumu kopējas notikšanas varbūtība ir vienlīdzīga abu šo notikumu varbūtību reizinājumam:

. (2.11)

Varbūtību reizināšanas teorēmu var attiecināt uz vairāk nekā diviem neatkarīgiem gadījuma notikumiem

. (2.12)

Piemērs.

1. Automātiskajā līnijā saistīti divi darbgaldi. Spriežot pēc iepriekšējiem novērojumiem, varbūtība, ka katrs atsevišķi ņemts darbgalds visu maiņu būs darba kārtībā, ir 0,9. Ar kādu varbūtību var sagaidīt, ka visa līnija maiņu nostrādās bez traucējumiem?

Atbildi atrod, varbūtības sareizinot

Nedaudz sarezģītāku uzdevumu atrisinājuma pareizību bieži var pārbaudīt, izrēķinot visu pilnu kopu veidojošo notikumu varbūtības un atrodot šo varbūtību summu, kurai jābūt viens.

Piemērs.

Cehā ir divi viena tipa darbgaldi. Varbūtība, ka katrs no tiem visu maiņu būs kārtībā, ir 0,9. Atrast varbūtību, ka vismaz viens no viņiem būs kārtībā.

Intuitīvi nojaušam, ka meklētai varbūtībai jābūt lielākai nekā 0,9 , jo cerība, ka no diviem darbgaldiem viens būs kārtībā, ir lielāka nekā tad, ja ir tikai viens darbgalds. Tas var pamudināt lietot varbūtību saskaitīšanu

0,9 + 0,9 = 1,8.

Iegūtais rezultāts ir nepārprotams brīdinājums, ka pieļāvām kļūdu. Nekāda notikuma (elementāra vai nelementāra) varbūtība nevar būt lielāka par vienu.

Kļūda radās tajā apstāklī, ka nepamatoti lietojām varbūtību saskaitīšanu. Var saskaitīt tikai to notikumu varbūtības, kuri var rasties viena novērojuma vai mēģinājuma rezultātā un ir savstarpēji neatkarīgi. Piemērā, turpretī, ir runa par diviem patstāvīgi lietojamiem darbgaldiem, no kuriem katrs var atrasties divos stāvokļos: darba kārtībā vai bojāts.

Jāatzīmē, ka nepareizi lietojot varbūtību saskaitīšanu, ne vienmēr iegūst skaitli lielāku par 1, līdz ar to pamanot aprēķinu nepareizību. Tādēļ šaubu gadījumos ir jāsastāda pilns vienīgi iespējamo neelementāro notikumu saraksts, jāatrod visu to varbūtības un, šīs varbūtības saskaitot, jāiegūst skaitlis 1, jo viena no vienīgi iespējamiem notikumiem iestāšanās ir drošs notikums.

Pēc tam var novērtēt, kuri no pilna notikumu saraksta atbilst uzdevuma prasībām.

Mūsu piemērā pilnu neelementāro notikumu kopu veido šādi notikumi:

1. abi darbgaldi kārtībā, varbūtība 0,9 × 0,9 = 0,81;

2. pirmais darbgalds kārtībā, otrs bojāts, varbūtība 0,9 × 0,1 = 0,09;

3. otrais darbgalds kārtībā, pirmais bojāts, varbūtība 0,1 × 0,9 = 0,09;

4. abi darbgaldi bojāti, varbūtība 0,1 × 0,1 = 0,01

__________________________

varbūtību summa 1,00

Uzdevuma nosacījumiem atbilst pirmie trīs notikumi, tadēļ varbūtība, ka kaut vai viens darbgalds būs kārtībā, ir šāda: 0,81 +0,09 + 0,09 = 0,99.

Iepriekšējo uzdevumu var atrisināt atrāk, zinot šādu vismaz viena notikuma notikšanas varbūtības teorēmu.

Varbūtību, ka notiks vismaz viens no notikumiem , kuri ir savstarpēji neatkarīgi, var aprēķināt, atņemot no skaitļa viens pretējo notikumu varbūtību reizinājumu.

Parasti to pieraksta saīsināti:

. (2.13)

Iepriekšējā piemēra atrisinājums būs

kas saskan ar iepriekšējo.

Sarežģītāku uzdevumu risināšanai darbības ar varbūtībām ir dažādi jākombinē. Uzdevuma risināšanas gaitā labi palīdz grafiska analīze: Eilera-Venna diagrammas, virzīto grafu attēls u.c. Šaubu gadījumos vienmēr jācenšas sastādīt pilnu notikumu kopas un jāpanāk, lai šo notikumu varbūtību summa būtu viens.

2.2.3. Varbūtību vienādojumi un vienādojumu sistēmas.

Ja viena elementāra notikuma varbūtība nav zināma, bet citu elementāru notikumu varbūtības ir zināmas, turklāt, ir zināma kāda neelementāra notikuma varbūtība, kurš jāsaprot kā minēto elementāro notikumu apvienojums, šķēlums vai citāda sintēze, tad nezināmo elementārā notikuma varbūtību bieži var aprēķināt, sastādot un atrisinot varbūtību vienādojumu.

Piemērs.

Elektronisko aparātu samontē no trim samērā autonomiem blokiem. Pirmos divus blokus montāžas cehā pirms izmantošanas pārbauda īpašos stendos. Ja pirmais bloks stenda pārbaudē ir atzīts par derīgu, tad tas ir derīgs arī izgatavojamā aparātā ar varbūtību 0,99. Ja stenda pārbaudē otrais bloks ir atzīts par derīgu, tas ir derīgs arī izgatavojamā aparātā ar varbūtību 0,98. Trešā bloka autonomai pārbaudei cehā stenda nav. To iemontē aparātā, paļaujoties uz piegādājošās rūpnīcas pārbaudes rezultātiem. Pēc tam pārbauda izgatavoto aparātu kopumā. Izrādās ka 90% no tiem uzreiz darbojas normāli. Vienkāršības dēļ pieņem, ka aparāts darbojas normāli vienmēr un tikai tad, ja pareizi darbojas visi trīs tā bloki.

Uzdevums: Atrast varbūtību, ka kārtējais no iesaiņojuma izņemtais trešais bloks būs derīgs. (To var interpretēt arī kā derīgo bloku īpatsvaru).

Analīze un atrisinājums.

Apzīmējam ar varbūtību, ka pirmais bloks ir derīgs. Piemērā .

Ar apzīmējam varbūtību, ka otrais bloks ir derīgs, .

Ar apzīmējam varbūtību, ka trešais bloks ir derīgs. Tā mums ir jāaprēķina.

Ar P (lielais) apzīmējam varbūtību, ka derīgs aparāts kopumā.

Minētos lielumus, kā izriet no uzdevuma satura, saista vienādība:

Izdarot ievietojumus, iegūstam, ka

No tā seko, ka

Atbilde. Varbūtība, ka kārtējais no iesaiņojuna paņemtais trešais bloks būs derīgs (bez papildus pārbaudes) ir 0,928. Citiem vārdiem, piegādātajā partijā ir bijuši 92,8% derīgu bloku.

Citos uzdevumos sakarības var būt sarežģitākas. Tad sarežģitāks būs arī varbūtību vienādojums.

Ja ir nezināmas vairāku elementāru notikumu varbūtības, tad tās var aprēķināt, ja izdodas sastādīt un atrisināt attiecīgu varbūtību vienādojumu sistēmu.

2.3. Darbības ar savstarpēji atkarīgu notikumu varbūtībām

2.3.1. Nosacītā varbūtība

Ja viena notikuma varbūtība ir atkarīga no tā, vai otrs notikums ir noticis vai nē, tad šie notikumi ir savstarpēji atkarīgi.

Ja notikumi A un B ir savstarpēji atkarīgi, tad par nosacīto varbūtību sauc notikuma B varbūtību, pieņemot, ka A jau noticis.

Saistot varbūtību jēdzienus ar izlases metodi, var teikt, ka nenosacītās varbūtības asociējas ar atkārtoto, bet nosacītās - ar neatkārtoto izlasi.

Piemērs. Māņticīgs students eksamenā baidās no 13. biļetes. Vai viņam ir lielāka varbūtība to izvilkt, ņemot biļeti pirmajam, vai pēdējam? Pieņemam, ka uz eksāmenu ir ieradušies 20 studenti un sagatavotas izlozei 30 biļetes.

Analīze. Ja students ņem biļeti pirmais, tad ''nevēlama'' notikuma varbūtība ir

Ja viņš ņem biļeti pēdējais, tad varbūtība ir atkarīga no tā, vai šo biļeti iepriekš ir paņēmis kāds cits students vai nē. Ja to ir paņēmis kāds cits, tad varbūtība kļūst nulle. Bet, ja neviens cits to nav paņēmis, tad nelabvēlīgo iespēju skaits M=1 nemainās, bet visu iespēju skaits N no 30 samazinās līdz 30 - 19 = 11. Tātad varbūtība ir un tā ir daudz lielāka, nekā ņemot biļeti sākumā.

2.3.2. Nosacīto varbūtību reizināšana

Vienkāršākajā gadījumā ir runa par diviem atkarīgiem notikumiem A un B, kuru varbūtības P(A) un ir dotas. Ir jāatrod varbūtība, ka abi notikumi notiks kopā ( vienlaikus, viens pēc otra).

Izmanto šādu teorēmu.

Divu atkarīgu notikumu kopējas notikšanas varbūtību aprēķina, reizinot viena notikuma parasto varbūtību ar otra notikuma nosacīto varbūtību

. (2.14)

Ja uzdevumā nav īpaši atrunāts, pieņem, ka notikumu vietas var savstarpēji mainīt.

Tā kā

. (2.15)

Piemērs. Traukā ir 50 loterijas biļetes, no kurām 25 atzīmēts laimests. Kāda varbūtība izvilkt divas laimējošas biļetes pēc kārtas?

Atrisinājums. Pirmajā meģinājumā varbūtība ir .

Otrajā mēģinājumā .

Abos mēģinājumos .

Teorēmu var attiecināt uz vairāk nekā diviem atkarīgiem notikumiem. Tad trešā notikuma nosacīto varbūtību nosaka, ņemot vērā, ka notikuši divi pirmie u.t.t.

2.3.3. Savienojamu notikumu varbūtību saskaitīšana

Divus gadījumnotikumus sauc par savienojamiem, ja viena notikšana neizslēdz otra notikšanu tajā pat izmēģinājumā.

Piemērs. Izlases veidā pārbaudot izgatavoto magnetofonu partiju, konstatēts, ka I šķiras standarta normām neatbilst 20% sakarā ar šaurāku atskaņojamo frekvenču joslu un 10% sakarā ar pazeminātu stereokanālu selektivitāti. Vienkāršības dēļ citus iespējamos defektu veidus neņemam vērā. Kāda varbūtība, pērkot vienu aparātu no šīs partijas, ka tas nebūs I šķiras?

Uzdevuma situāciju Eilera - Venna diagrammā var ilustrēt šādi. (2.1. attēlā)

2.1. attēls. Savienojamu gadījumnotikumu

1 def.

grafiska ilustrācija.

Tā kā vienam aparātam vienlaikus var būt abi defekti, varbūtību vienkārša saskaitīšana dos nepamatoti palielinātu defektīvo aparātu varbūtību.

Šeit jālieto teorēma, kuras saturs ir skaidrs no diagrammas.

Varbūtība, ka notiks viens no savstarpēji savienojamiem notikumiem, ir vienlīdzīga šo notikumu varbūtību summai, no kuras atskaitīta abu notikumu kopīgas iestāšanās varbūtība, resp., varbūtību reizinājums.

(2.16)

Piemērā varbūtība nopirkt zemākas šķiras aparātu ir

Varbūtība nopirkt I šķiras aparātu šādā situācijā ir minētās varbūtības papildinājums līdz vienam, kā tas redzams no 2.2. attēla.

1 - 0,28 = 0,72.

2 def.

1 def.

2.2. attēls. Pretēja gadījumnotikuma

grafiska ilustrācija.

Atliek salīdzināt formulas (2.16) un (2.6), jo viņas var radīt pārpratumus. To kreisās puses ir pierakstītas vienādas, bet labās atšķirīgas. Atšķirību cēlonis ir tas, ka formulas (2.6) lietošanu ierobežo papildus nosacījums, ka abi notikumi ir savstarpēji nesavienojami. Eilera - Venna diagrammā apļi nešķeļās.

Tādēļ un

Formulā (2.16) šī ierobežojuma nav. Tādēļ tajā ietver locekli un formula ir universālāka.

2.4. Vidējās un pilnās varbūtības formulas. Beijesa formula

2.4.1. Vidējā un pilnā varbūtība

Šo uzdevumu nostādni vislabāk ilustrēt ar piemēriem.

Uzdevums.

Viena veida detaļas izgatavo divi strādnieki un liek kopējā kastē. No iepriekšējās hronometrāžas ir zināms, ka pirmais strādnieks izgatavo 60%, bet otrais 40% no kopējā skaita. Bez tam iepriekšējā pārbaude ir parādījusi, ka derīgo detaļu īpatsvars pirmajam strādniekam ir 90%, bet otrajam 95%. Aprēķināt, kāda varbūtība, ka kārtējā detaļa, ko nejauši ņemsim no kastes, būs derīga.

Analīze un atrisinājums.

Acīmredzot, varbūtība nevar būt zemāka par 0,9 un augstāka par 0,95. Šīs robežvērtības varbūtība iegūtu tad, ja strādātu tikai viens strādnieks: vai nu paviršākais vai rūpīgākais. Tā kā strādā abi, tad meklētai varbūtībai jābūt divu robežvērtību vidējam lielumam, kur par svariem ņemam izgatavoto detaļu īpatsvaru. Izsverot viena daļās - 0,6 un 0,4. Tātad intuitīvs risinājums ir svērtais aritmētiskais vidējais.

Varbūtību teorijā vajadzīgo varbūtību aprēķina, lietojot pilnās varbūtības formulu:

. (2.17)

Piemērā varbūtība, ka nejauši ņemto detaļu būs izgatavojis pirmais strādnieks, ir , ka otrais strādnieks - . Nosacītā varbūtība, ka detaļa būs derīga, ja to izgatavojis pirmais strādnieks , ja izgatavojis otrais strādnieks .

Ievietojot formulā, iegūstam

Pilnās varbūtības formula neparedz dalīšanu ar statistisko svaru summu

kā to darījām intuitīvajos aprēķinos, jo tā vienmēr ir viens. Varbūtību summa ir viens, tādēļ, ka un veido pilnu notikumu kopu.

Darbības ar nosacītajām varbūtībām labi var ilustrēt ar virzītu grafu attēlu. Šāds attēls palīdz arī atrisināt samērā grūtākus uzdevumus.

Parādīsim pilnās varbūtības formulas grafisku ilustrāciju, izmantojot iepriekšējo piemēru (2.3. attēls).

2.3.attēls. Pilnās varbūtības vienkāršākā gadījuma grafiska ilustrācija.

Pieņemam, ka no virsotnes ''O'' (nulle) virsotnes ''A'' virzienā plūst kāda plūsma (šķidrums, elektriskā strāva, klienti masu apkalpošanas teorijā). Izpētām, kādu ceļu veic šī plūsma.

No virsotnes 0 plūsma sadalās divās daļās: uz virsotni un . Piemērā detaļas sagatavi paņem pirmais strādnieks (plūsma ) vai otrais strādnieks . Abas šīs plūsmas kopā aptver visu plūsmu. Attiecīgo varbūtību summa ir viens.

Virsotnēs un plūsma atkal dalās divās daļās : strādnieka izgatavotā detaļa ir derīga - uz virsotni A vai brāķis - uz virsotni C (var zimēt arī vienu virsotni C) Abi plūsmas zari no katras virsotnes B atkal aptver visu plūsmu. Nosacīto varbūtību summa ir viens.

Mūs interesē, kāda daļa no visas plūsmas, kas iziet no virsotnes 0, nonāk virsotnē A. Varbūtības šajā gadījumā var interpretēt kā plūsmas intensitāti katrā ceļa posmā.

Ja grafu attēlā ir fiksēti visi ceļi, kas ved no 0 uz A, un no katras virsotnes aizejošo ceļu plūsmas intensitātes blīvumu summa ir viens, tad minēto un līdzīgus uzdevumus atrisina, izmantojot šādu mnemonisku likumu.

Lai atrastu plūsmas daļu, kas nonāk no virsotnes ''0'' virsotnē ''A'' , secīgi ejamo ceļu kustības blīvumi (varbūtības) ir jāsareizina, bet paralēli iespējamo ceļu kustību blīvumi (varbūtības) jāsaskaita.

Pierakstot šo likumu algebriski, iepriekšējam grafu attēlam iegūstam pilnās varbūtības formulu. (2.18)

Izmantojot analogu zīmējumu ar brīvi izvēlētu skaitu paralēli iespējamo ceļu, iegūstam pilnās varbūtības vispārējo formulu (skat 2.4. attēlu).

2.4.attēls. Pilnās varbūtības vispārējā gadījuma grafiska ilustrācija.

2.5.attēls. Pilnās varbūtības grafiska ilustrācija, ja gadījumnotikumu
ķēde ir garāka.

(2.18)

Līdzīgi var risināt arī uzdevumus, kuru grafu attēlā ir vairāk nekā divi secīgi ceļa posmi. Piemēram (skat 2.5. attēlu).

Pilnās varbūtības formulas labajā pusē šajā gadījumā būs divi saskaitāmie (atbilstoši paralēlo ceļu skaitam), bet katru no tiem aprēķina kā trīs skaitļu reizinājumu.

2.4.2. Beijesa formula

Beijesa formulas lietošanu parādīsim ar piemēru.

Piemērs. Iepriekšējie novērojumi rāda, ka ražošanas iecirknis izgatavo 90% standarta un 10% nestandarta detaļu. Detaļas pārbauda tehniskā kontrole. Citi novērojumi rādīja, ka 95% standarta detaļu atzīst par derīgām, bet 5% kļūdas dēļ izbrāķē. Savukārt, pārbaudot nestandarta detaļas, 90% gadījumu brāķi atklāj, bet 10% gadījumu to nepamana.

Uzdevums atrast varbūtību, ka detaļa, kas tehniskajā kontrolē jau ir atzīta par atbilstošu standartam, patiešām būs derīga.

Analīze.

Par notikumu A pieņemsim faktu, ka detaļu tehniskā kontrole atzīst par derīgu. Tas var iestāties tad, ja iepriekš noticis notikums (izgatavota standarta detaļa) vai (izgatavota nestandarta detaļa). Lai situācija būtu pilnīga, ar C apzīmēsim detaļas izbrāķēšanu, kaut gan uzdevuma atrisināšanai tas nav nepieciešams (skat. 2.6. attēlu).

2.6.attēls. Beijesa formulas grafiska ilustrācija.

Notikuma A varbūtību aprēķina pēc pilnās varbūtības formulas. Tā ir varbūtība, ka kārtējo detaļu tehniskā kontrole atzīs par derīgu:

Šo varbūtību var raksturot kā plūsmas daļu, kura nonāk no virsotnes O virsotnē A pa abiem iespējamiem ceļiem un . Bet uzdevuma nosacījumiem atbilst tikai ceļš . Plūsmas daļu, kura nonāk virsotnē A pa šo ceļu, raksturo pilnās varbūtības pirmais saskaitāmais

Saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem detaļa jau ir nonākusi virsotnē A, bet nav zināms, pa kuru ceļu. Varbūtību, ka tas ir bijis pirmais ceļš, raksturos plūsmu intensitātes attiecība pirmajā ceļā un visā kontūrā OA (t.i. pa abiem ceļiem).

Tātad 0,855:0,865 = 0,988.

Atrasto varbūtību sauc par hipotēzes varbūtību tādēļ, ka reālais plūsmas ceļš ir OBA, bet mēs domās pieņemam, ka notikums A jau ir noticis (detaļa ir nonākusi virsotnē A) un novērtējam atpakaļvirzienā, par kuru no ceļiem tas varētu būt noticis.

Šādus uzdevumus vispārina Beijesa formula. Gadījumam, ja pilno varbūtību veido divi saskaitāmie (grafā ir divi ceļi), Beijesa formula ir šāda:

, (2.19)

kur saucējā ir pilnās varbūtības formulas labā puse.

Piemērā:

Varbūtība, ka tehniskajā kontrolē pārbaudītā un atzītā detaļa patiešām būs derīga, ir 0,988.

Beijesa formulu var izrisināt matemātiski, izdarot virkni pārveidojumu un substitūciju saskaņā ar teorēmām par darbībām ar varbūtībām.

Analogi var izrēķināt, kāda būs varbūtība, ka detaļa, ko tehniskā kontrole atzinusi par derīgu, īstenībā būs brāķis.

Abu varbūtību summa ir viens.

Ja pilno varbūtību veido vairāk kā divi saskaitāmie, grafiskajā attēlā ir vairāk kā divi ''ceļi''. Tad iegūstam Beijesa formulu vispārīgā veidā.

Tā raksturo varbūtību, ka interesējošā objekta vienība, kura jau ir nonākusi virsotnē A, tur ir nonākusi pa pirmo ceļu. Pirmā ceļa vietā var ņemt jebkuru citu; tad jāaizstāj ar .

Situāciju var sarežģīt vēl tālāk, interesējoties par varbūtību, ka interesējošā vienība ir nonākusi virsotnē A pa vienu no diviem vai vairākiem fiksētiem ceļiem no lielāka skaita iespējamo.

Tad arī Beijesa formulas skaitītājā būs divi vai vairāki saskaitāmie, bet saucējā joprojām paliks pilnā varbūtība.

Vēl iespējams, ka ceļos ir nevien viens, bet divi vai vairāki krustpunkti (virsotnes). Tad vajadzīgo formulu visvieglāk izveidot, iepriekš izgatavojot un izanalīzējot grafisko attēlu.

2.5. Atkārtoti novērojumi. Bernulli formula un Ņutona binoms

Par atkārtotu novērojumu vai izmēģinājumu sauc vienas un tās pašas apstākļu kopas atkārtotu radīšanu, kuras rezultātā notikums A var notikt vai nenotikt.

Ja notikums A ir gadījumnotikums, tad rodas raksturīgs uzdevums aprēķināt, kāda ir varbūtība, ka novērojumu atkārtojot n reizes, notikums A iestāties tieši m reizes. No tā seko, ka notikums A n-m reizes nenotiks. Pieņem, ka notikuma A varbūtība visos novērojumos ir vienāda, un to apzīmē ar p.

Jāizšķir divas uzdevuma nostādnes.

1. Mūs interesē varbūtība, ka notikums A notiks m reizes iepriekš fiksētā secībā, piemēram, visas m reizes novērojumu sērijas sākumā.

Tādu varbūtību var aprēķināt ar elementāru varbūtību reizināšanu, to saīsinot ar kāpināšanas darbību palīdzību. Proti

2. Biežāk interesē varbūtība, ka notikums A iestāsies tieši m reizes, bet iestāšanās un neiestāšanās gadījumu secība nav fiksēta, tā varbūt jebkura. Tad iepriekšējā varbūtība ir jāpareizina ar kombināciju skaitu, ko var sastādīt no n elementiem pa m elementiem,

Līdz ar to:

. (2.21)

Ievietojot

iegūstam Bernulli formulu šādu uzdevumu risināšanai

. (2.22)

Formulu vislabāk ilustrēt ar klasisko teoriju. Iedomāsimies, ka vienlaikus met trīs spēļu kauliņus un spēles iznākums ir atkarīgs no tā, cik reizes uzkrīt sešnieks.

Sešnieks šajā situācijā var uzkrist 3x, 2x, 1x un nevienu reizi. To varbūtības saskaņā ar Bernulli formulu ir šādas:

Atgadinām, ka .

Saskaitot iegūtos rezultātus, summā jādabū viens. Ja uzdevumā ir vārdi ''vairāk kā'', ''mazāk kā'', ''no ... līdz'', jānovērtē, kuri saliktie notikumi atbilst uzdevuma nosacījumiem, un attiecīgās varbūtības jāsaskaita.

Bernulli formula ir vienāda ar attiecīgo Ņutona binoma izvirzījuma locekli, ja binomu ņem pakāpē n, kas atbilst izmēģinājumu skaitam.

(2.23)

Tātad Bernulli formula ir Ņutona binoma izvirzījuma vispārējais loceklis.

Ja n nepārsniedz 50 - 90, vajadzīgos faktoriālus var aprēķināt tieši, izmantojot zinātniskam vai inženierdarbam domātu kabatas skaitļotāju. Tad grūtības nerodas, vienīgi dažkārt kā starprezultāti jāfiksē ļoti lieli skaitļi.

Ja n sasniedz un pārsniedz šīs robežas, tad Ņutona binomu tuvināti var aizstāt ar normālā sadalījuma likumu, pie kam tuvinājums ir labāks, ja n ir lielāks skaitlis. Normālo sadalījumu aplūkosim 4. nodaļā.

Tuvināto metožu lietošana ir sevišķi nepieciešama, ja uzdevuma ietvaros, kuru vajadzētu risināt ar Bernulli formulu, šo formulu vajadzētu lietot daudzkārtīgi.