Ievads ražošanas funkciju teorijā

13. Ievads ražošanas funkciju teorijā

13.1. Vispārčjas zišas par rażošanas funkcijām

13.1.1. Jēdziena izcelšanās

Ražošanas funkcijas kā ekonometrijas modeļu veids parādījās praktiski vienlaikus ar ekonometrijas zinātni. Ražošanas funkciju rašanos bieži saista ar K.Koba un R.Duglasa rakstu ‘’Ražošanas teorija’’ (ASV, 1928).

PSRS un līdz ar to arī Latvijā ražošanas funkciju jēdziens kļuva pazīstamāks pēc E.Hedī, D.Dillona monogrāfijas ‘’Ražošanas funkcijas lauksaimniecībā’’ tulkojuma¹. Latvijā pirmie pētījumi šajā novadā publicēti piecus gadus vēlāk ².

Enciklopēdiskajā vārdnīcā ražošanas funkcijas ir skaidrotas šādi: ‘’Ražošanas funkcijas, metemātiskā formā izteiktas funkcionālas sakarības starp saražotās produkcijas daudzumu un izlietotajiem resursiem (pirmā ražošanas funkcija - Koba-Duglasa funkcija; izstrādāta ASV). Ražošanas funkcijas plaši izmanto ekonomikas attīstības matemātiskajos modeļos’’ ³.

Ekonometriskajā literatūrā terminu ‘’ražošanas funkcijas’’ nesaprot tik viennozīmīgi. Tomēr sākotnējam priekšstatam enciklopēdijas skaidrojums ir pietiekams. Par dažādām iespējamām niansēm runāsim turpmāk.

13.1.2. Rażošanas funkcijas un regresijas vienādojumi

Ražošanas funkcijas gan pēc satura, gan aprēķināšanas metodēm, gan lietošanas specifikas ir jāuzlūko par vienu ekonometrijas modeļu veidu. Tādēļ vispirms īsi jāraksturo, kas ir modelis zinātnē un ekonomikā. Varam vēlreiz izmantot enciklopēdiju: ‘’Modelis lietišķajās zinātnēs ... sakarību kopums, kas pētījamo procesu attēlo vienkāršotā veidā, aprakstot tās būtiskās pazīmes’’. ‘’Modelēšana, objektu pētīšana ar modeļu palīdzību; izziņas metode’’. Dod varbūtējas zināšanas. ‘’Ekonomiski matemātiskie modeļi, ekonomiska procesa, parādības vai objekta matemātisks apraksts’’ (pasvītrojums - mūsu)⁴.

Tagad mēģināsim norobežot ražošanas funkcijas no radniecīgiem ekonometrijas modeļiem pēc sistematiskām pazīmēm.

1. Ražošanas funkcija ir sakarību modelis, kurš apraksta sakarību starp produkcijas apjomu un patērēto resursu daudzumu. Šīs sakarības nekad nav funkcionālas, bet ir korelatīvas. Tādēļ terminu ’’ražošanas funkcijas’’ nedrīkst saprast kā funkcionālas sakarības matemātikas izpratnē. Galvenās ražošanas funkciju parametru aprēķināšanas (identifikācijas) metodes ir korelācijas - regresijas analīze ar visām viņas modifikācijām un papildinājumiem. Ražošanas funkcijas ir statistiski (empīriski) modeļi pretstatā vairumam optimālās programmēšanas modeļu, kuriem ir normatīvs raksturs. Tas nenozīmē, ka ražošanas funkcijas nevar izmantot racionālu vai pat optimālu lēmumu pamatošanai.

Vēl jāaizrāda, ka termins ‘’ražošanas funkcijas’’ nedrīkst asociēties ar nozares, uzņēmuma vai amatpersonas pienākumu uzskaitījumu, kaut gan citā kontekstā vārdus ‘’ražošanas funkcijas’’ tā varētu saprast.

_________________

¹ Agricultural Production Functions. Earl O. Heady, John L. Dillon. - Jowa, 1961. Tulk.:

".Ytlb> L.Lbkkjy. Ghjbpdjlcndtyyst aeyrwbb d ctkmcrjv [jpzbcndt.-V.% 1965. - 600 c.

² Rhfcnbym J. Fuhj'rjyjvbxtcrbt aeyrwbb. Hbuf% KUE> 1971. - 238 c.

³ Enciklopediskā vārdnīca. 2. sējums. - R.: Latv. enciklop. red., 1991. - 129.lpp.

⁴ Enciklopēdiskā vārdnīca, 2. sēj., 3. lpp.; 1. sēj., 166. lpp.

2. Rezultatīvai pazīmei ražošanas funkcijā ir jābūt tādai, kas izsaka ražotās produkcijas daudzumu naturālā vai vērtības izteiksmē vai ražošanas intensitātes līmeni. Vispārekonomiskā līmenī tas varētu būt bruto vai preču produkcijas daudzums absolūti vai uz 1 strādājošo, uz investēto kapitāla vienību u.c. Tehnoloģiskā līmenī - atsevišķu izstrādājumu daudzums vai ražošanas intensitāte, piemēram, lauksaimniecībā: graudaugu ražība, govju vidējais izslaukums, cūku dzīvsvara diennakts pieaugums u.c.

Ja rezultatīvā pazīme izsaka kādu citu svarīgu ekonomikas kategoriju (rādītāju), sakarību modeli parasti sauc šīs kategorijas vārdā. Tā var runāt par pašizmaksas, ienākuma, peļņas, piedāvājuma un pieprasījuma, uzkrājumu, labklājības, izvēles u.c. funkcijām.

Visus iepriekš minētos un citus sakarību modeļus (funkcijas) varētu apvienot kopējā grupā ‘’ekonomikas (tautsaimniecības) funkcijas’’.

Pagaidām šāds termins maz ieviesies. Ja tādu modeļu grupu pieņemtu, varētu runāt par modeļu grupējumu pa nozarēm, piemēram, agroekonomiskās funkcijas, dzīves līmeņa funkcijas u.t.t.

3. Modeli raksturojošiem sakarību ciešuma rādītājiem ir jābūt samērā augstiem, lai korelatīvās sakarības vairāk vai mazāk tuvotos funkcionālām, kaut gan funkcionālas tās nekad nebūs. Ja sakarību ciešuma rādītāji ir zemi, virkne modeļa matemātisko pārveidojumu, ko iesaka ražošanas funkciju teorija, kļūst maz pamatota. Līdz ar to ražošanas funkcijā ir jābūt iekļautiem visiem svarīgākajiem ražošanas faktoriem.

Nebūs īsti pamatoti saukt par ražošanas funkciju jebkuru regresijas vienādojumu, kurš izsaka (modelē) sakarības starp diviem vai vairākiem ražošanu raksturojošiem rādītājiem. Lai regresijas vienādojumu varētu saukt par ražošanas funkciju, tā uzbūvei ir jābūt profesionāli labi pamatotai un sakarību ciešuma rādītājiem - augstiem.

4. Sakarību formai parasti ir jābūt nelineārai. Var runāt arī par lineārām ražošanas funkcijām, un zinātniskajā literatūrā to dara. Tomēr tādā gadījumā modeļa interpretācija un lietošana ir tik skaidra un vienkārša, ka nav vajadzības izmantot ražošanas funkciju teorijā izstrādātos pārveidojumus. No otras puses, lineāra modeļa gadījumā daži minētie pārveidojumi zaudē praktisku ekonomisku jēgu. Savukārt, lai modelī atklātos statistiski nozīmīga sakarību nelinearitāte, faktorālo pazīmju variācijas apgabaliem (amplitūdām) ir jābūt samērā plašiem un ir jāizmanto lieli empīriskās informācijas masīvi.

Kā jau bijas minēts, ražošanas funkcijas, precīzāk - to parametrus aprēķina jeb identificē, izmantojot matemātiskās statistikas, galvenokārt daudzdimensiju statistiskas metodes. Retāk lieto kādus speciāli izstrādātus paņēmienus.

Ražošanas funkciju teorijā ir izstrādāta virkne metožu un paņēmienu, ar kuru palīdzību pārveido, analizē un pētī jau gatavas, aprēķinātas ražošanas funkcijas. Šīs metodes nav matemātiskās statistikas daļa, bet veido robežzinātni starp ekonomikas teoriju, matemātisko statistiku un vispārējo matemātiku. Tieši tādas metodes ir ekonometrijai visraksturīgākās.

13.1.3. Ražošanas funkcijas un tās vienkāršāko pārveidojumu

grafiska ilustrācija

Ražošanas apjoms un intensitāte parasti ir atkarīgi no vairākiem pamatfaktoriem. Metožu demonstrācijai turpretī izvēlās tikai divu faktoru un vienas rezultatīvās pazīmes modeli. To ar zināmām grūtībām var attēlot trīs dimensiju telpā un viņa projekciju - plaknē.

13.1. attēlā ir parādīta divu faktoru nelineāras ražošanas funkcijas virsma. Ar x un z ir apzīmēti ražošanas faktori, bet ar y - ražošanas rezultāts ⁵. Lai attēlā parādītu virsmu, kuras punktu koordinātām, pieaugot x un (vai) z vērtībām, pieaug y vērtības, ir izvēlēta ģeometrijā neparasta x ass projekcija. Tādēļ citi autori ir meklējuši alternatīvu attēla izgatavošanas paņēmienu, skat. 13.2. attēlu ⁶.

_________________

⁵ Attēls reproducēts no grāmatas: ".Ytlb> L.Lbkkjy. Ghjbpdjlcndtyyst aeyrwbb ... c. 37.

⁶ Attēls reproducēts no grāmatas: Ntht[jd K.K. Ghjbpdjlcndtyyst aeyrwbb> V.> 1974. - c. 18.

13.1. attēls. Ražošanas funkcijas virsma.

13.2. attēls. Ražošanas funkcijas virsma. Alternatīva projekcija.

Tātad ražošanas funkcijas y = f (x, z) virsmas daļu attēlo virsma . Šīs virsmas punktu koordinātas apmierina funkcijā izteiktās sakarības (13.1. attēls).

Punkti uz ražošanas funkcijas virsmas raksturo ražošanas plānus, kas paredz resursu racionālu izmantošanu. Punkti, kas atrodas zem ražošanas funkcijas virsmas, raksturo ražošanas plānus, pēc kuriem strādājot, ražošanas faktori tiek izmantoti neracionāli. Tādēļ par tiem nav praktiska interese. Punkti virs virsmas apzīmē neiespējamus plānus.

Ja ražošanas funkcijas virsmu šķeļ ar vertikālu plakni, kura ir perpendikulāra kādai no faktoru asīm, iegūst šķeluma līkni, kura raksturo ražošanas rezultāta izmaiņas, mainoties vienam faktoram pie otra faktora nemainīga līmeņa. 13.1. attēlā ir parādīts viens tāds šķēlums ar līkni .

Šķeļoša plakne ir perpendikulāra OZ asij, bet paralēla OX asij. Tādēļ ražošanas virsmas līnija raksturo ražošanas rezultāta y izmaiņas, mainoties faktoram x, ja faktors z ir fiksēts līmenī .

Citas šķēluma līknes var atrast analogi, fiksējot faktoru z citā līmenī, piemēram, .

Līdzīgi var konstruēt ražošanas funkcijas virsmas šķēlumus ar OX asij perpendikulārām, bet OZ asij paralēlām plaknēm. Tadā gadījumā iegūsim, šķēluma līnijas, kuras raksturo ražošanas rezultāta y izmaiņas, mainoties faktoram z pie nemainīgām x vērtībām.

Ražošanas funkcijas virsmas šķēlumus ar vertikālām plaknēm izsaka parciālās ražošanas funkcijas. Matemātiskās statistikas terminoloģijā, ja ražošanas funkcija ir daudzfaktoru regresijas vienādojums, tad parciālā ražošanas funkcija ir parciālais regresijas vienādojums.

Ražošanas funkcijas vertikālos šķēlumus var iegūt pēc patikas daudz. Tos var attēlot atsevišķā attēlā (plaknē), tāpat kā attēlo parciālos regresijas vienādojumus (13.3. attēls). Šo attēlu var izmantot par nomogrammu sagaidāmā (normatīvā) ražošanas rezultāta noteikšanai, mainoties vienam ražošanas faktoram, ja otra faktora līmenis ir nemainīgs.

13.3. attēls. Parciālo ražošanas funkciju līknes, mainoties faktoram x, pie trīs dažādos līmeņos fiksētiem faktora z līmeņiem.

Precīzāku sagaidāmo ražošanas rezultātu aprēķina, ievietojot interesējošo faktora vērtību parciālajā ražošanas funkcijā, vai abu interesējošo faktoru vērtības divu faktoru ražošanas funkcijā. Parciālās ražošanas funkcijas atrod tāpat kā parciālās regresijas vienādojumus: sākotnējā ražošanas funkcijā tā faktora vietā, kurš jāfiksē nemainīgā līmenī, ievieto vajadzīgo skaitli un izdara iespējamos saīsinājumus. Ja sākotnējā ražošanas funkcijā ir vairāk nekā divi faktori, parasti nemainīgā līmenī fiksē visus, atskaitot vienu - interesējošo. Retāk atstāj divus mainīgos.

Kā mainās pētāmā faktora atdeve, mainoties tā nodrošinājuma (patēriņa) līmenim, skaitliski parāda parciālas ražošanas funkcijas pirmā atvasinātā. To sauc par papildus rezultāta funkciju ⁷.

Parciālo ražošanas funkciju līkņu pieskaru tangensi rāda papildus ražošanas rezultāta lielumu, ko nodrošina pētījamā faktora palielināšana katrā līknes punktā, ja otrs faktors ir nemainīgā līmenī. Līkņu pieskaru tangensi jānosaka, ņemot vērā abu skalu mērogus, nevis ar leņķmēru.

Ražošanas funkciju attēlojošo virsmu šķeļot ar horizontālu plakni, iegūst līniju, kura raksturo fiksētu ražošanas rezultātu, ko var sasniegt ar dažādām divu ražošanas faktoru kombinācijām ⁸. 13.1. attēlā viena tāda līnija ir parādīta kā punktēta līkne ab. Šādas līnijas

ražošanas funkciju teorijā sauca par ražošanas izokvantām vai vienkārši par izokvantām, arī par vienādu apjomu līknēm.

Tā kā ražošanas funkcijas virsmu ar horizontālām plaknēm var šķelt dažādos augstumos, var iegūt neierobežoti daudz izokvantu. Katra izokvanta parāda visas iespējamās faktoru x un z minimālo daudzumu kombinācijas viena izokvantai atbilstoša ražošanas rezultāta sasniegšanai.

Arī izokvantas var attēlot atsevišķā attēlā divu dimensiju koordinātu sistēmā, uz koordinātu asīm atliekot abu ražošanas faktoru skalas (13.4.attēls).

13.4. attēls. Ražošanas funkcijas izokvantas un izoklīnas.

_________________

⁷ Alternatīvi termini: papildus produkta funkcija, robežrezultāta (robežprodukta) funkcija. Izvēli var

izdarīt atkarībā no konteksta.

⁸ Precīzāk: … izlietojot šos faktorus minimālā, nepieciešamā līmenī. To pašu rezultātu protams, var

sasniegt arī pārtērējot vienu vai abus faktorus. Tādas rīcības plānu izsaka visu punktu koordinātas

uz horizontālās šķelošās plaknes zem ražošanas funkcijas virsmas. Bet tāds ražošanas plāns nav

saprātīgs.

Līkne savieno visus punktus, kuru koordinātām atbilstošie ražošanas faktoru līmeņi nodrošina ražošanas rezultātu . Līdzīga nozīme līknēm un . Šādu izokvantu kopu attēlā sauc par ražošanas virsmas kontūrkarti.

Izokvantu kontūrkarti var izmantot kā nomogrammu racionālu ražošanas faktoru līmeņu tuvinātai nolasīšanai, atbilstoši vēlamam ražošanas rezultātam.

Izokvantas vienādojumu atrod, ievietojot ražošanas funkcijā rezultatīvās pazīmes simbola vietā skaitli, kas atbilst noteiktam, vēlamam ražošanas rezultātam. Pēc tam funkciju izsaka atklātā veidā pret jebkuru no interesējošiem faktoriem. Citiem vārdiem, viena faktora lielumu izsaka kā otra faktora funkciju.

Izokvantas pieskaru leņķa tangensi (jānosaka, ņemot vērā abu faktoru skalas uz koordinātu asīm) raksturo attiecības, kādās viens ražošanas faktors var samainīt otru, lai ražošanas rezultāts paliktu nemainīgs.

Ja ražošanas funkcija ir nelineāra, izokvantas arī ir nelineāras, tātad pieskaru leņķa tangensi dažadās izokvantas daļās ir dažādi. Tas nozīmē, ka dažādas ir arī faktoru samaināmības normas. Samainības normas vispārējā veidā izsaka samaināmības funkcija, kas ir izokvantas pirmā atvasinātā.

Parasti faktoru samaināmība ir pieņemamāka jeb izdevīgāka izokvantas centrālajā daļā. Attālinoties no centrālās daļas, kad viena faktora kļūst mazāk, to arvien grūtāk un neizdevīgāk aizstāt ar otru. Tādēļ faktoru samaināmības normas ir nozīmīga informācija ražošanas faktoru racionālu attiecību (samēru) noteikšanai.

Ja savieno punktus uz dažādām izokvantām, kuriem atbilst vienādi faktoru samaināmības koeficienti, iegūst līkni, kuru sauc par izoklīnu. Tāpat savienojot punktus, kuri atbilst citai faktoru samaināmības normai, iegūst citu izoklīnu. Izoklīnas var atrast neierobezoti daudz.

Kad ir atrastas visizdevīgākās ražošanas faktoru attiecības, resp., atbilstošais punkts uz izokvantas, tad no šī punkta aizejošā izoklīna parāda, kā jāmaina vai jāsaglabā ražošanas faktoru attiecības, paplašinot ražošanu, lai šīs attiecības joprojām būtu racionālas.

Ja izoklīnas savienojas vienā punktā (13.4. attēls), ražošanas funkcijai ir globāls maksimums. Tā sasniegšanai eksistē tikai viena vienīga ražošanas faktoru līmeņu kombinācija. Manevrējot tikai ar šiem diviem faktoriem, iegūt vēl lielāku ražošanas rezultātu vispār nevar. Tas, protams, nenozīmē fatālu robežu, bet tikai to, ka tālākam progresam ir nepieciešams izmantot citus ražošanas faktorus vai arī mainīt ražošanas tehnoloģiju.

Ja par ražošanas funkciju uzskata lineāru modeli, arī izokvantas ir lineāras. Faktoru samaināmības normas visā sakarību eksistences apgabalā ir konstantas. Pieņemot, ka tas atbilst īstenībai un ražošanas funkcija eksistē pietiekami plašā apgabalā, racionālais variants prasītu visus pārējos ražošanas faktorus samainīt ar vienu, kuram salīdzinoši ir vislielākā atdeve uz vienu izmaksu vienību. Ir skaidrs, ka reāli tas nebūs iespējams, jo nodrošināt ražošanas procesu ar vienu ražošanas faktoru nevar.

Tādēļ lineāri ražošanas modeļi sakarības var raksturot tikai tuvināti, samērā šaurā faktoru variācijas apgabalā ar nosacījumu, ka neviens no būtiski nepieciešamiem faktoriem pēc daudzuma nav izteikti nepietiekams. Tāpat samēra šaurā apgabalā var izdarīt praktiskus secinājums par faktoru samaināmību, ja šīs normas noteiktas pēc lineāra modeļa. Līdz ar to lineārs modelis kā ražošanas funkcija ir maz efektīvs.

13.2. Rażošanas funkcijas praksč

Mācību un zinātniskā darba sākumā vieglāk un drošāk ir iegūt modeļus, kas raksturo sakarības mikroekonomikā vai uzņēmējdarbībā. Ieteicams sākt nevis ar ražošanas funkcijām, kur faktori un rezultāti ir izteikti vērtības izteiksmē, bet ar tehnoloģiski ekonomiskām funkcijām, kur visi mainīgie ir izteikti konkrētās fizikālās vienībās. Šādas sakarības ir daudz mazāk atkarīgas no sabiedriskās iekārtas valstī, no uzņēmumu īpašumtiesiskā veida, stingras vai liberālas saimnieciskās likumdošanas u.t.t.

Latvijā ir uzkrāta vairāku gadu desmitu pieredze, aprēķinot ražošanas funkcijas lauksaimniecībā: ražības, izslaukuma, produkcijas pašizmaksas u.c. funkcijas ⁹.

No metodiskā viedokļa kā interesantākās varētu vērtēt izslaukuma funkcijas. Turklāt tās ir aprēķinātas tiklab pēc trīsdesmito kā astoņdesmito gadu datiem, kas dod iespēju izdarīt salīdzinājumus¹⁰.

Pēc deviņdesmito gadu datiem ir iespējams aprēķināt tikai ļoti vienkāršotas izslaukuma funkcijas.

Trīsdesmitajos gados Latvijas laukos dominēja samērā nelielas zemnieku saimniecības kā ģimeņu privātīpašums. Astoņdesmitajos gados - valsts un kolektīvās lielsaimniecības. Arī mājlopu turēšanas un barošanas tehnoloģija bija atšķirīga, tomēr ne tik atškirīga, lai salīdzinājumi būtu neiespējami.

13.2.1. Izslaukuma funkcijas

Izslaukuma funkcijas pēc trīsdesmito gadu datiem ir aprēķinātas par 1936/37; 1937/38; 1938/39; 1939/40. saimniecības gadiem un vidēji periodā, kā sākotnēja informācija izmantota lopkopības pārraudzības biedrību dati. Šādu biedrību skaits pa uzrādītajiem gadiem svarstījās no 511 līdz 901, kas ir pietiekami daudz sakarību pētīšanai.

Izslaukuma modeļi pēc astoņdesmito gadu datiem ir aprēķināti par katru gadu 1981. - 1986. g. periodā un šajā periodā vidēji. Kā sākotnējā informācija izmantoti 525 - 531 lielsaimniecību gada pārskatu dati ¹¹.

Izslaukuma funkcijas (modeļos) ir izmantoti šādi mainīgie un to simboli.

Rezultatīvā pazīme:

- vidējais izlaukums no vienas govs gadā, kg.

Faktorālās pazīmes:

- barības patēriņš (izlietojums) vidēji uz 1 govi gadā, simtos barības vienību:

- siens,

- salmi un pelavas,

- skābbarība,

- lopbarības saknes,

- zaļbarība,

- spēkbarība (koncentrētā lopbarība).

Ir aprēķināti gan lineāri, gan pakāpju (Koba - Duglasa) daudzfaktoru modeļi. No metodiskā un arī praktiskā viedokļa interesantāki ir nelineārie pakāpju modeļi. Tādēļ turpmāk runāsim par tiem. Atbilstošos lineāros modeļus var atrast norādītajās publikācijās.

Rēķinot vidēji trīsdesmitajos gados, ir iegūts šāds modelis¹².

_________________

⁹ Rhfcnbym J.G. Ghbvtytybt htuhtccbjyyjuj fyfkbpf d bccktljdfybz[ 'rjyjvbrb ctkmcrjuj

[jpzbcndf. Hbuf> 1976. - 250 c.

Rhfcnbym J.G. Hfphf,jnrf b bynthghtnfwbz vjltktq rjhtkfwbjyys[ cdzptq d 'rjyjvbrt.

Hbuf> 1983. - 302 c.

¹⁰ Krastiņš O., Godmane I. Barības izmantošana piena lopkopībā: Statistiska un

ekonometriska analīze. - R.: Latvijas Statistikas institūts, 1992. - 66 lpp.

¹¹ Skat. 10. atsauci kā arī Krastiņš O., Godmane I. Lopbarības izmantošana un atdeve piena

ražošanā (salīdzinoši pētījumi par 1936. - 1940 un 1981. - 1990. gadiem // Latvijas Zinātņu

Akadēmijas Vēstis. B. - 1992 - Nr. 10 (543) - 49 - 54 lpp.

¹² Skat. 10. atsauci, 49. lpp.

. (13.1)

Visos gados statistiski nenozīmīgs izrādījās 3. faktors - skābbarības patēriņš. Šis barības veids trīsdesmitajos gados ir nenozīmīgs sakarā ar mazo pielietojamu tālaika lopkopībā. Salmu un pelavu devu (2.faktors) statistiskā nozīmība pa gadiem ir atšķirīga. Lai varētu rēķināt vidējo, tā paturēta modeli visos aprēķinos.

Izmantojot astoņdesmito gadu vidējos, ir izrēķināts šāds analogs modelis ¹³:

. (13.2)

Pakāpju modeļiem ir šādas īpašības.

Ja kāda faktora lielumu pieņem vienādu ar nulli, tad arī rezultatīva pazīme ir nulle. Bez jebkura svarīga ražošanas faktora ražošana nav iespējama.

Pakāpju rādītāji ir interpretējami kā teorētiskie elastības koeficienti, par ko plašāk jārunā atsevišķi. Īsi sakot, elastības koeficients rāda, par cik promilēm papildus pieaug (palielinās) rezultatīvā pazīme ja faktoralā pazīme palielinās par vienu promili.

13.2.2. Parciālās ražošanas funkcijas

Lai labāk uztvertu ražošanas funkcijas īpatnības, visur, kur tas iespējams, jācenšas izmantot grafiskos attēlus.

Iepriekš raksturotās daudzfaktoru izslaukuma funkcijas tieši attēlot nevar. Lai to izdarītu, viņas ir jāvienkāršo, aplūkojot katru faktoru atsevišķi, vai, maksimums, ne vairāk kā divus faktorus kopā.

Viena faktora ietekmi uz rezultatīvo pazīmi atspoguļo parciālā ražošanas funkcija. To iegūst no daudzfaktoru funkcijas visus pārējos faktorus, atskaitot vienu interesējošo, fiksējot kādā nemainīgā līmenī. Parasti izmanto faktoru vidējās vērtības, bet, ja analīzes apsvērumi to prasa, var izvēlēties arī jebkuras citas vērtības, piemēram, faktoru variācijas apgabalu robežas.

Turpmāk izmantosim vidējos lielumus. Visu mainīgo lielumu aritmētiskie vidējie 1936. - 1940. g. periodā ir šādi:

Aprēķināsim, piemēram, parciālo izslaukuma funkciju spēkbarībai. Šim nolūkam daudzfaktoru funkcijā (1) ir jāievieto uzrādītie vidējie lielumi, atskaitot un :

(13.3)

Šīs funkcijas grafiks 13.5. attēlā ir līkne 13.3. Līkni uzzīmē ar vispārējo paņēmienu. Atrod vairākus punktus uz šīs līknes, dodot pēc kārtas brīvi izvēlētas vērtības un aprēķinot pēc parciālās funkcijas.

_________________

¹³ Skat. avotu 10. atsaucē, tā 50.lpp.

Kad šie punkti iezīmēti attēlā, caur tiem novelk līkni.

Piena lopkopībā par bāzes barību parasti uzlūko rupjo barību (sienu, zaļbarību), bet par papildus barību, ar kuras palīdzību kāpināt izslaukumu, uzlūko spēkbarību un lopbarības saknes. Tādēļ ir interesanti aprēķināt, kāda būtu parciālā izslaukuma funkcija, ja sakņu devas fiksētu nevis vidējās, bet minimālā un maksimālā līmenī, izejot no faktiskā šo devu variācijas apgabala, kādas bija lietotas tālaika saimniecībās.

Pieņemam, ka minimālā sakņu deva ir 1,0 un maksimālā 6,0 (simti barības vienību jeb centneri barības vienību uz 1 govi gadā). Tad visu citu mainīgo vietā pilnajā izslaukuma funkcijā ievietojam faktoru vidējās vērtības, bet vietā pēc kārtas liekam 1,0 un 4,0.

Iegūstam

(13.4)

(skat.13.3)

(13.5)

13.5. attēls. Parciālās ražošanas funkciju līknes.

Visas šīs līknes ir iezīmētas 13.5. attēlā un ļauj spriest, kā sagaidāmas izslaukuma izmaiņas, mainot tikai spēkbarības devas (parāda atsevišķa līkne), un mainot arī sakņu devas (pārējot no vienas līknes uz otru).

Zinot šīs līknes, kā arī lopbarības pašizmaksu vai iepirkšanas cenu un piena pārdošanas cenu, var vērtēt, ciktāl izdevīgi intensificēt ražošanu. Reālie aprēķini būs sarežģītāki, jo jāņem vērā nevien barības līdzekļu patēriņa pieaugums un to atdeves samazināšanās, bet arī darba patēriņš, amortizācija, vispārsaimnieciskie izdevumi u.c. Pēdējie, intensificējot ražošanu, nepieaug tik strauji kā produkcijas apjomos. Tomēr, izdarot šādus kompleksākus aprēķinus, razošanas funkcijas, ja arī tās neietver pilnīgi visus ražošanas faktorus, dod ļoti nozīmīgu informāciju racionālu lēmumu pieņemšanai.

Ja elastības koeficients ir mazāks par vienu, palielinot šī faktora lielumu, tā ietekme uz rezultatīvo pazīmi (atdeve) samazinās. To sauc par piesātinājuma efektu, un tas labi atbilst profesionāliem apsvērumiem. Ja elastības koeficients ir lielāks par vienu ražošanas rezultāta papildus pieaugums apsteidz faktora pieagumu. Praksē ražošanas funkcijās tas gadās ļoti reti.

Modeļu reizinātājam jeb multiplikātoram vienkāršas profesionālas interpretācijas nav.

Pievēršoties abu modeļu salīdzinājumiem, var atzīmēt šādas īpatnības.

Astoņdesmito gadu modelī ir daudz lielāks spēkbarības patēriņa elastības koeficients nekā trīsdesmitajos gados (0,2707 pret 0,0887). To izskaidro astoņdesmito gadu lopkopības īpatnība, kas orientējās uz plašu ievestās spēkbarības izmantošanu. Trīsdesmitajos gados tāpat kā mūsdienās šādas iespējas nebija.

Teorētiskie elastības koeficienti atspoguļo nevien faktora atdevi, bet arī tā īpatsvaru rezultatīvās pazīmes veidošanā, uzdevumā - kopējā barības devā. Tas ir tādēļ, ka galvenajiem ražošanas faktoriem ir lielāka 1‰ masa.

Trīsdesmitajos gados ievērojami lielāks ir zaļbarības elastības koeficients, ko tāpat var izskaidrot ar lopkopības īpatnībām: toreiz piena ražošanai daudz vairāk izmantoja vasaras ganību periodu, pieļaujot lielāku ražošanas sezonalitāti.

Salmu un pelavu patēriņa elastības koeficienti abos periodos ir negatīvi. Tas nenozīmē, ka šīs lopbarības ietekme uz izslaukumu būtu kaitīga. Salmi un pelavas kā mazvērtīga lopbarība tiek izmantota vienīgi tad, ja vērtīgākas barības trūkst. Tieši vērtīgākās barības trūkums pazemina izslaukumu, kas formāli atspoguļojas salmu un pelavu negatīvas ietekmes rādītājos. Salmu patēriņš ir sekundārs faktors, kas īstenībā atspoguļo cita primārā faktora - lopbarības trūkuma - ietekmi uz izslaukumu.

Abos periodos ir samērā augsts lopbarības sakņu elastības koeficients. Šis barības veids abos periodos veido salīdzināmu īpatsvaru kopējā barības devā, un tā ietekme uz izslaukumu ir relatīvi augsta.

Detalizētāks modeļu izvērtējums mūsu metodiskā darbā nav vajadzīgs. To var atrast iepriekš minētajos zinātniskajos darbos.

Kurš no modeļiem labāk atspoguļos ražošanas sakarības deviņdesmito gadu apstākļos, viennozīmīgi nevar pateikt. Skaidrs, ka ievestās spēkbarības barošanas tips Latvijai nebūs iespējams. Tuvāks varētu būt trīsdesmito gadu modelis, tomēr tik ekstensīva ražošana kā toreiz mūsdienu tirgus ekonomikai arī nebūs īsti piemērota.

Ja mums vajadzētu dot kādu šodienai piemērota modeļa vērtējumu, visreālāk būtu orientēties uz abu periodu vidējo.

Turpmāk metožu demonstrācijai izmantosim trīsdesmito gadu modeli. (13.1).

13.3. Ražošanas funkciju matemātiski pārveidojumi

13.3.1. Papildus rezultāta funkcija

Ja esam aprēķinājuši viena faktora pakāpes ražošanas funkciju¹⁴

(13.6)

vai arī šādas formas parciālo ražošanas funkciju, tad papildus rezultāta funkciju var aprēķināt kā iepriekšējās funkcijas pirmo atvasināto un pierakstīt vispārējā veidā:

. (13.7)

Šo izteiksmi var izmantot tiešai konkrētās ražošanas funkcijas parametru ievietošanai.

Analogus rezultātus dod parciālā atvasinātā no pilnās ražošanas funkcijas.

Piemēram, ja mums ir dota divu faktoru ražošanas funkcija

(13.8)

tad

un . (13.9 un 13.10)

Atliek izteiksmē (13.9) fiksēt nemainīgā līmenī un izteiksmē (13.10) , lai iegūtu to pašu rezultātu, ko atvasinot viena faktora parciālo ražošanas funkciju.

Piemēram, izmantojot pilno ražošanas funkciju (13.1) un fiksējot vidējā līmenī visus faktorus, atskaitot , iegūstam

. (skat. 13.3)

Tās pirmā atvasinātā

(13.11)

Vēlreiz izmantojot pilno ražošanas funkciju (13.1) un fiksējot vidējā līmenī visus faktorus, atskaitot un , iegūstam divu faktoru izslaukuma funkciju

. (13.12)

_________________

¹⁴ Lai nesarežģītu turpmākos pierakstus, vilnīti uz rezultatīvās pazīmes simbola neliksim.

Atvasinot pēc , iegūstam

Pieņemot tālāk vidējā līmenī , iegūstam:

, (skat. 13.11)

kas saskan ar iepriekš aprēķināto.

Varam izdarīt dažus secinājumus.

Ražošanas funkcijas pirmā atvasinātā ir papildus rezultāta funkcija un izsaka papildus rezultāta lielumu katrā līknes punktā, ja faktorālo pazīmi palielina par vienu vienību. Šai vienībai ir jābūt ļoti mazai, teorētiski - bezgalīgi mazai.

Tā kā lineāra modeļa y = a + bx pirmā atvasinātā , tad papildus rezultāta funkcija ir interpretējama tieši tāpat kā lineāra modeļa koeficients. Starpība tikai tā, ka lineāru sakarību gadījumā papildus rezultāts visā sakarību eksistences apgabalā ir konstants, bet nelineāru sakarību gadījumā - mainīgs.

Atvasināto funkciju var aprēķināt prakstiski visām sakarību modeļa formām, kādas lieto ekonometrijā. Tādēļ, visos gadījumos var iegūt informāciju, kura ir līdzvērtīga tai, ko dod lineāras regresijas koeficienti.

Nelineāru modeļu parametri tiešā veidā ir profesionāli interpretējami tikai dažos gadījumos: pakāpes modeļa pakāpes rādītāji ir teorētiskie elastības koeficienti, zināma interpretācija ir hiperbolas parametriem, interpretāciju nevar uzradīt parabalos u.c. modeļu parametriem. To vietā praktiska interpretācija jāmeklē šo modeļu pārveidojumiem, piemēram, papildus rezultāta funkcijai.

13.3.2. Vidējais un papildus rezultāts

Vidējie lielumi ir ekonomikā visplašāk lietotie rādītāji. Rēķina vidējos par visu interesējošo novērojumu kopu, pa atsevišķām grupām un arī atsevišķām vienībām - uzņēmumiem.

Vidējais ražošanas rezultāts ir speciāls vidējo lielumu veids. To aprēķina kā intensitātes relatīvo lielumu, dalot ražošanos rezultātu ar patērētā faktora daudzumu.

Piemēra ietvaros vidējais rezultāts būs vidējais iegūtā piena daudzums, rēķinot uz vienu centneru patērēto spēkbarības vienību.

To var aprēķināt kā intensitātes relatīvo lielumu, dalot saražotā piena daudzumu ar patērētās spēkbarības daudzumu . Ja abas summas aprēķinātas pēc vienu un to pašu saimniecību datiem, vai izmantojot vienu un to pašu svaru sistēmu, tad

(13.13)

Piemērā , bet .

Līdz ar to, rēķinot uz 1 c barības vienību ir ražots:

(kg piena).

Šādu rādītāju var aprēķināt arī saimniecību grupām, atsevišķai saimniecībai u.t.t.

Tā, vidējo rezultātu aprēķina, izmantojot faktiskos datus, faktisko rezultatīvās un faktorālās pazīmes lielumus. Vispārējā gadījumā vidējais rezultāts ir attiecība

jeb . (13.14)

Citos uzdevumus vidējais rezultāts būs vidējais darba ražīgums, vidējā peļņa, rēķinot uz vienu ieguldītā kapitāla vienību u.t.t.

Ja mums ir izrēķināta ražošanas funkcija, tad rezultatīvās pazīmes lielumu varam ņemt ne tikai kā faktiski novēroto skaitli, bet arī kā aprēķināto jeb teorētisko lielumu, kas atbilst faktiski izlietotajam faktora daudzumam.

Tad iepriekšējā attiecībā y aizstājam ar , resp. vidējo rezultātu izsakām ar attiecību

jeb . (13.15)

Piemēram, pēc iepriekšējā uzdevuma datiem gribam aprēķināt spēkbarības izbarošanas vidējo rezultātu

Ievietojot , resp., vietā konkrētā, izmantotā modeļa labo pusi, iegūstam formulu vidējā rezultāta aprēķināšanai. Piemēram, ja mums ir izmantots pakāpes modelis , tad

. (13.16)

Parciālā izslaukuma funkcija spēkbarībai bija

. (skat. 13.3)

No tā seko, ka vidējais rezultāts ir

;

. (13.17)

Pieņemot vidējā līmenī, t.i. , iegūstam

(kg piena rēķinot uz 1 c spēkbarības barības vienību).

Skaitlis sakrīt ar iepriekš pēc vidējiem faktiskajiem datiem aprēķināto. Modeļa līkne iet caur punktu korelācijas diagrammā, kas atbilst abu saistīto pazīmju vidējiem.

Vispār gan šis apgalvojums ir pilnīgi pareizs tikai tad, ja modelis ir lineārs. Ja modelis ir nelineārs, t.sk. pakāpju modelis, šāds apgalvojums izpildās tikai tuvināti.

Aprēķināsim vidējā rezultāta (izslaukuma) lielumu dažādām (spēkbarības patēriņa) vērtībām pēc formulas

. (skat. 13.17)

13.1. tabula

Spēkbarības vidējais un papildus rezultāts

2464

1310

905

697

568

481

418

370

302

256

209

219

116

Redzam, ka, palielinot izlietojamā faktora daudzumu, vidējais rezultāts, rēķinot uz vienu šī faktora vienību, samazinās. Reālā sakarību eksistences apgabalā viena barības vienība vidēji nodrošina 8 - 3 kg piena (800 - 300 kg no centnera barības vienību).

Izdarot šādu secinājumu, jāņem vērā, ka spēkbarība ir tikai viens no izmantojamiem barības veidiem. Bez tam piena ražošana ir atkarīga arī no citiem faktoriem, kas nav saistīti ar lopbarību. Rēķinot vidējo rezultātu, spēkbarībai ir pierakstīta visu šo faktoru līdzietekme. Tādēļ vidējais rezultāts iznāk ļoti liels.

Vidējā rezultāta interpretācija no profesionālā viedokļa ir drošāka, ja pētītais faktors ir vai nu vienīgais vai vismaz viens no nedaudzajiem, kas formē ražošanas rezultātu. Makroekonomikā šādi faktori ir darbs, zeme, kapitāls.

Papildus rezultāta lielumu, ko dod viena (ļoti maza) izmantotā resursa vienība, rāda papildus rezultāta funkcija, kas ir ražošanas funkcijas pirmā atvasinātā :

Teorētiski tā ir bezgalīgi mazu rezultatīvās un faktorālās pazīmes pieaugumu attiecība.

Lineāra modeļa papildus rezultāta funkcija ir konstants lielums un vienāda ar regresijas koeficientu.

Ja ir izmantots nelineārs modelis, tad papildus rezultāts dažādām faktora vērtībām ir mainīgs (dažāds) lielums.

Piemēram, pakāpju funkcijai

; (skat. 13.6)

. (skat. 13.7)

Iepriekš aplūkotai parciālai izslaukuma funkcijai

papildus rezultāta funkcija ir

, (skat. 13.11)

kura bija aplūkota iepriekš.

Izrēķinām papildus rezultāta lielumu vidējai vērtībai

(kg piena).

Papildus rezultāta lielums citām vērtībām ir parādīts 13.1. tabulas 3.rindā.

Varam izdarīt virkni secinājumu.

1. Parasti parciālā ražošanas funkcijā pētāmais faktors nav vienīgais, kas nosaka ražošanas rezultātu. Tādā gadījumā modelī ir lielāks vai mazāks brīvais loceklis vai multiplikātors. Ja turklāt faktoram piemīt piesātinājuma efekts, tad papildus rezultāts vienmēr būs mazāks nekā vidējais rezutāts. Ja ir izmantots pakāpes modelis, tad, jo lielāks ir multiplikātors, jo lielāka ir vidējā un papildus rezultātu atšķirība.

2. Papildus rezultātu un vidējo rezultātu vienmēr saista matemātiska sakarība. Pakāpju modeļa gadījumā:

. (13.18)

Pakāpes modeļa papildus rezultāta vērtība ir b reizes lielāka nekā vidējā rezultāta vērtība, kur b - attiecīgā faktora pakāpes rādītājs. Tā kā pakāpes rādītājs gandrīz vienmēr ir skaitlis mazāks par vienu: 0<b<1, tad papildus rezultāts ir mazāks par vidējo rezultātu.

3. Tā kā papildus rezultāta funkcijā pakāpes rādītājs b - 1 parasti iznāk negatīvs skaitlis, šai funkcijai piemīt hiperbolas īpašības. Augot x vērtībām, samazinās papildus rezultāta vērtības, asimptotiski tuvojoties nullei. Praktiski tas notiek tālu aiz profesionāli interpretējamās ražošanas funkcijas eksistences apgabala.

;

.

13.6. attēls. Vidējā rezultāta un papildus rezultāta funkcijas.

Vidējā un papildus izslaukuma līknes ir parādītas 13.6. attēlā. Jāievēro, ka papildus izslaukuma līknei ordinātu skala ir gradēta 10 reizes sīkākās vienībās nekā vidējā izslaukuma skala. Ja abas līknes iezīmē attēlā ar vienādi iedalītu ordinātu skalu, tās atrodas tālu viena no otras.

13.3.3. Izokvantas

Ražošanas faktori parasti zināmās robežās ir savstarpēji samaināmi. Uzskatāmi tas redzams izslaukuma funkcijā, kur runa ir par viena barības līdzekļa aizstāšanu ar otru. Saprotams, ka šāda samaināmība ir ierobežota un kļūst neizdevīga tad, ja aizstāšanas rezultātā kāda no faktoriem kļūst maz.

Lai izpētītu ražošanas faktoru samaināmību ar ekonometriskām metodēm, aprēķina un novērtē ražošanas funkcijas izokvantas.

Lai pētītu divu faktoru savstarpējo samaināmību ar nosacījumu, ka pārējie faktori fiksēti nemainīgā līmenī, visvienkāršāk aprēķināt divu faktoru parciālo ražošanas funkciju un pēc tam - tās izokvantas.

Divu faktoru parciālo izslaukuma funkciju (sakņu un spēkbarības devām) aprēķina līdzīgi kā viena faktora parciālo izslaukuma funkciju. Tikai - kā mainīgus lielumus, nefiksējot noteiktā līmenī, saglabā divus faktorus, piemērā, un .

Izdarot ievietojumus, iegūstam, ka (skat. 13.12)

Jāievēro, ka visās parciālās ražošanas funkcijās, kas aprēķinātas no vienas pamatfunkcijas, atbilstošie elastības koeficienti sagalabājas vieni un tie paši. Pārējo faktoru fiksēšanas rezultātā mainās vienīgi modeļa reizinātājs - multiplikātors.

Lai aprēķinātu pēdējās izslaukuma funkcijas izokvantas, ražošanas apjoms (izslaukums ) ir jāpieņem kādā brīvi izvēlētā līmenī un izteiksme jāpārveido atklātā veidā pret vienu no faktoriem - vai .

Iepriekšējai funkcijai

. (13.19)

Pieņemot, piemēram, ka (kg), šo izteiksmi var vienkāršot līdz

. (13.20)

Tā ir konkrēta izokvantas funkcija, kurai 13.7. attēlā atbilst 2.līkne. Līknes punktu koordinātas var izskaitļot, dodot brīvi izvēlētas vērtības šī faktora variācijas apgabalā un aprēķinot . Piemēram, ja , tad .

Izokvantas citiem brīvi fiksētiem izslaukuma līmeņiem ir parādītas 13.7. attēlā.

13.7. attēls. Izokvantas un izoklīnas.

Katrs punkts uz izvēlētās izokvantas atspoguļo vienu ražošanas plānu (barības līdzekļu kombināciju), kas nodrošina vēlamo rezultātu (izslaukumu). Saprotams, ka daži no šiem plāniem ir izdevīgāki, citi mazāk izdevīgi. Viens no viņiem ir optimāls, ņemot vērā salīdzināmo barības līdzekļu 100 barības vienību pašizmaksu vai iepirkšanas cenu. Faktisko datu variācijas apgabalā līknes zīmētas nepārtrauktas, ekstrapolācijas apgabalā - pārtrauktas.

Izokvantas vienādojumu var izteikt vispārējā veidā. Piemēram, ir dota ražošanas funkcija

(13.21)

Uzskatot par konstantu lielumu, izsakām funkciju atklātā veidā pret :

(13.22)

Vispārinot, ja ir dota ražošanas funkcija

, (13.23)

tad izokvantas ir šādas

; (13.24)

. (13.25)

Ja ir jārēķina daudz punktu koordinātas uz vairākām izokvantām, šīs formulas viegli programmēt.

Katrai izokvantai jāfiksē atmiņās un kā mainīgās jāņem , resp. brīvi izvēlētas vērtības.

Iepriekš risinātajā piemērā

__________________

Atgādinājumi:

tad, ievietojot formulā (13.22), iegūstam :

kas saskan ar iepriekšējo.

Tātad izokvantu var aprēķināt:

1) izmantojot jau konkrētu ar skaitliskiem parametriem dotu ražošanas funkciju un to vienkāršojot;

2) izmantojot izokvantas formulas vispārējā veidā un tajās ievietojot ražošanas funkcijas parametrus un fiksēto ražošanas apjomu .

Pēc tam var izdarīt vienkāršojumus.

13.3.4. Faktoru samaināmības funkcijas un samaināmības normas

Faktoru samaināmības funkcija parāda, kā iespējams vienu ražošanas faktoru samainīt ar otru, lai ražošanas apjoms paliktu nemainīgs.

Samaināmības funkciju atrod kā izokvantas pirmo atvasināto.

Aprēķinus atkal var izdarīt:

1) strādājot ar konkrētas izokvantas vienādojumu;

2) vispārējā veidā.

1. Izpētām izokvantu:

, (skat. 13.20)

kur - faktors, ar kuru gribam aizstāt (spēkbarība),

- faktors, kuru gribam aizstāt (lopbarības saknes).

Rezultatīvā pazīme fiksēta 3000 kg līmenī.

Aprēķinam izokvantas pirmo atvasināto

(13.26)

Konkrēta pirmās atvasinātās ordināta rāda samaināmības normu interesējošā punktā.

Samaināmības funkcija ģeometriski nozīmē izokvantas pieskaru leņku tangensus, kuri dažādos izokvantas punktos ir dažādi. (13.8. attēls).

13.8. attēls.Izokvanta.

13.2. tabula

Samaināmās normas

1	2	3	4	5	6	8
30,9	11,5	6,5	4,3	3,14	2,4	1,6
43,8	8,19	3,07	1,53	0,89	0,57	0,29

Aprēķinām sakņu samaināmības normu ar spēkbarību izokvantas punktā, kur (ievietojot izokvantas vienādojumā, uzzinam, ka ) (13.2. tabula).

Samaināmības normu apzīmē ar - K, līdz ar ko , kurā jāievieto iegūstam, ka (13.2. tabula).

Tātad vienu vienību (100 barības vienību sakņu) šajā izokvantas punktā var aizstāt ar 0,89 vienībām (89 vienībām spēkbarības). Ja abu barības veidu pašizmaksa par barības vienību būtu vienāda, aizstāšana būtu izdevīga.

Savukārt, pieņemot, ka

(13.2. tabulas 3.rinda)

Lai aizstātu 100 barības vienības sakņu, ir jāizbaro 307 barības vienības spēkbarības, kas diezin vai būs izdevīgi.

Vienmēr jāņem vērā, vai izpētītie punkti uz izokvantas vispār ir sakarību reālās eksistences apgabalā un samainīšana vispār ir iespējama. To nenosaka ar ekonometrijas metodēm, bet ar profesionālām zināšanām no konkrētās nozares.

Ir redzams, ka to faktoru, kura kļūst maz, arvien neizdevīgāk aizstāt ar otru faktoru.

Faktoru samaināmības normu var tuvināti aprēķināt, vizuāli novelkot izokvantai interesējošā punktā pieskari, līdz tā krustojas ar koordinātu asīm. Nolasīt šos krustpunktu koordinātas un izdalīt vienu skaitli ar otru. Piemēram, pēc 13.8. attēla punktā izokvantas pieskare krusto asi punktā 12 un asi - punktā 6. No tā seko, ka

(aprēķinājām 3,07).

Šāds novērtējums palīdz, ja rodas šaubas par to, kā interprētēt atrasto samaināmības normu (kurš faktors ir tas, ar kuru samainām, un kurš tas, kuru samainām).

2. Samaināmības funkciju var izteikt arī vispārējā veidā. To var izdarīt ar diviem paņēmieniem.

2.1. Pamatpaņēmiens paredz tieši atvasināt izokvantas funkciju. To samērā viegli izdarīt ar pakāpes funkciju. Dažu citu sakarību formu gadījumā tas noved pie sarežģītiem pārveidojumiem un lietderīgāks ir otrs paņēmiens.

Ja ir dota pakāpju ražošanas funkcija

, (skat. 13.8)

tad tās izokvanta, kā parādīts iepriekš, ir

. (skat. 13.25)

Atvasinam šo funkciju pēc

(13.27)

ko var pierakstīt tālākam darbam ērtākā veidā, novietojot nemainīgo izteiksmes beigās un atbrīvojoties no dalīšanas:

. (13.28)

Atrodam no ražošanas funkcijas

(skat. 13.8)

lielumu

(13.29)

un ievietojam to izteiksmē (13.28)

, (13.30)

ko var saīsināt (vienādo reizināmo pakāpes rādītājus saskaita)

, (13.31)

analogi

. (13.32)

Piemērā izpētījām samaināmības normu punktā

Mainot faktora kodu uz un uz , varam ievietot atrastajā samaināmības funkcijas formulā

kas sakrīt ar iepriekš aprēķināto.

2.2. Ja ražošanas funkcijas forma ir tāda, ka tās izokvantas atvasināšana un pārveidošana rada grūtības, tad samaināmības funkciju nosaka kā divu papildus rezultāta funkciju apgrieztu attiecību, ņemtu ar pretēju zīmi.

Ražošanas funkcijas

(skat. 13.8)

papildus rezultāta funkcijas (pirmās atvasinātās) ir

(13.33)

(13.34)

(13.35)

kas sakrīt ar iepriekšējo.

13.3.5. Faktoru attiecību optimizācija

Par ražošanas faktoru optimizāciju sauksim kādu ražošanas faktoru samēru aprēķināšanu, izejot no viņu samaināmības normām un šo faktoru pašizmaksas, resp., iepirkšanas cenas.

Pilna optimizācija prasa ievērot visu kompleksu ražošanas faktoru, izdevumus sakarā ar viņu izmantošanu utt. Pilno optimizāciju ne vienmēr iespējams izdarīt, tādēļ arī atsevišķu faktoru optimizācijai kā lokālam uzdevumam ir praktiska nozīme.

Ja iepriekšējā uzdevuma ietvaros pieņemtu, ka 100 barības vienības sakņu maksā aptuveni tikpat, cik 100 barības vienības spēkbarības, tad no jau aprēķinātajām samaināmības normām un no 2. izokvantas 13.2. attēlā jāsecina, ka izslaukuma 3000 kg no govs iegūšanai izbarojamo sakņu daudzumam ir jābūt lielākam par 3 simtiem un mazākam par 5 simtiem barības vienību, ņemot atbilstoši izokvantai vajadzīgo spēkbarības daudzumu, jo šajā daļā izokvanta ir pietiekami izliekta (nepārtraukta līnija).

Aprēķināsim, cik tieši jāņem sakņu un cik spēkbarības, ja pieņem, ka abu barības veidu barības vienība maksā vienādi.

Tas nozīmē, ka ir jāmeklē tāds punkts uz izokvantas

, (skat. 13.20)

kur pieskares leņķa tangenss ir viens. Pieskares leņķu tangensus izsaka atbilstošā samaināmības funkcija, ko atrod kā izokvantas pirmo atvasināto

. (skat. 13.26)

Pielīdzinot šo funkciju mīnus vienam, iegūstam

no kā seko, ka

(simti b.v.).

Izvērstāk:

Aprēķinam šim plānam atbilstošo spēkbarības daudzumu, ievietojot izokvantas vienādojumā

(simti b.v.).

Plāna atbilstību iecerei pārbauda, abus faktoru daudzumus ievietojot ražošanas funkcijā:

Plāns paredzēto izslaukumu nodrošina.

Plāns paredz izbarot vairāk sakņu nekā spēkbarības, jo sakņu atdeve no vienas barības vienības lielāka, bet pašizmaksu pieņēmām vienādu.

Praksē dažādu faktoru, piemērā - barības līdzekļu, izmaksas nav vienādas. Trīsdesmito gadu zemnieku saimniecībās 100 barības vienību pašizmaksa bija: lopbarības saknēm Ls 10,- lopbarības graudiem (spēkbarībai) - Ls 8,-. Tagad, salīdzinot ar trīsdesmitajiem gadiem, vairāk mehanizēta ir graudu ražošana, mazāk sakņu. Tādēļ pieņemsim, ka .

Ar šiem nosacījumiem, ja abu barības veidu 100 barības vienības dotu vienādu atdevi, būtu jāizbaro divas reizes vairāk spēkbarības nekā sakņu. Tā kā abu barības veidu atdeve nav vienāda, izmaksu attiecībai

jāpielīdzina samaināmības funkcija

(skat. 13.26)

Ir jāizbaro 3,58 c.b.v. sakņu.

Vajadzīgo spēkbarības daudzumu atrod, ievietojot atrasto vērtību izokvantas vienādojumā

(skat. 13.20)

c.b.v. spēkbarības.

Tātad optimālais plāns, lai iegūtu 3000 kg lielu izslaukumu, paredz izbarot 3,58 c.b.v. sakņu un 5,05 c.b.v. spēkbarības.

Aprēķinu pareizību pārbauda, ievietojot šos skaitļus ražošanas funkcijā;

Nereti, rēķinot faktoru samaināmības normas, iznāk kļūdīties, nepareizi ievietojot formulās faktoru, kuru samaina un uz kuru samaina.

Lai pārbaudītu vai neesam kļūdijušies, aprēķinu pareizība jāpārbauda grafiski (13.8. attēls).

Tā kā uzdevuma nosacījumi paredzēja, ka spēkbarība ir divas reizes lētāka nekā saknes, uzzīmējam pašizmaksu attiecību taisni, piemēram, ņemot uz skalas 12 un uz skalas 6 (divas reizes mazāk) un šos punktus savienojot ar taisni. Pārbīdot šo taisni paralēli pašai sev izokvantas virzienā, novērtējot punktu, kurā abas līnijas pirmo reizi saskarsies.

Tas notiek aptuveni punktā ar koordinātām Katrā ziņā redzam, ka ir lielāks nekā . Tātad aprēķinātie lielumi kļūdas dēļ nav samainīti vietām.

Ja grib samainīt ar (otrādi), tad izokvanta jārēķina atklātā veidā pret un daudzumu attiecība būs . Turpretī cenu attiecība, kurai pielīdzina samaināmības funkciju, jāņem apgriesta .

13.3.6. Izoklīnas

Izoklīna ir līnija, kas savieno dažādu izokvantu punktus ar vienādām faktoru samaināmības normām.

Izoklīnas vienādojumu atrod, pielīdzinot samaināmības funkciju izvēlētai, resp. optimizētai konstantei k. Tādējādi pakāpes funkcijai

, (13.36)

no kā seko, ka

, (13.37)

kas ir izokvantas vienādojums.

Aizvietojot

piemērā

. (13.38)

Pārbaudām vai punkts (3,58; 5,05), kas fiksēja optimālo faktoru attiecību uz otrās izokvantas, atrodas uz tikko aprēķinātās izoklīnas:

Tātad atrodas, un izoklīna ir noteikta pareizi.

Ja ražošanas funkcijai ir pakāpes funkcijas forma, izoklīnas ir lineāras un atšķiras ar samaināmības normām k. Atbilstošās taisnes ar dažādiem faktoru samaināmības koeficientiem vēdekļveidā iziet no koordinātu sākuma (13.7. attēls).

Ja izpildītājs par iegūtajiem rezultātiem nav īsti drošs, kā arī tad, ja aprēķinu rezultāti prasa lielu atbildību, ir jānovērtē naudas izteiksmē nevien atrastais optimālais plāns, bet arī alternatīvi plāni abpus optimālajam, pārliecinoties, ka optimālais plāns patiešām ir izdevīgāks.

13.4. Ieņēmumu un izdevumu funkcijas

Ieņēmumu funkciju iegūstam, pareizinot rezultatīvās pazīmes naturālām vienībām izteiktu ražošanas funkciju ar vienas rezultatīvās pazīmes vienības cenu. Vienkāršības dēļ vēlreiz aplūkosim parciālo izslaukuma funkciju

(skat. 13.3.)

Pieņemsim, ka 1 kg piena var pārdot par Ls 0,10. Tad, apzīmējot ieņēmumus no vienas govs gadā ar V, var pierakstīt

(Ls) (13.39)

Šī ieņēmumu līkne ir tabulēta 13.3. tabulas 1.-2.rindās un parādīta grafiskajā 13.9. attēlā.

13.9. attēls. Ieņēmumu līkne un izdevumu taisne.

13.3. tabula

Ieņēmumu un izdevumu līknes

	0.5	1	2	3	4	5	8	10	12	15
V	232	246	262,02	271,62	279	284	296	302	307	313
P	204	208	216	224	232	240	264	280	296	320
V - P	28	38	46	48 (47,62)	47	44	32	22	11	-7

Izdevumu funkciju konstruējam tā, ka pieņemam viena c barības vienību spēkbarības pašizmaksu Ls 8,-, bet vienas govs pastāvīgās turēšanas izmaksas (bez spēkbarības) Ls 200,- gadā. Tad izdevumu funkcija būs

. (13.40)

Tā ir tabulēta iepriekšējās tabulas 3.rindā un parādīta arī attēlā kā taisne.

Peļņas funkcija būs ieņēmumu un izdevumu funkciju starpība. Tabulā - pēdējā rinda. Attēlā tā ir attālums starp līkni un taisni, mērot pa vertikāli un nolasot attālumu ordinātu skalā.

Tabulā redzam, un pēc attēla varam pārliecināties, ka vislielāko peļņu var iegūt, izbarojot govīm ap 3 c barības vienību spēkbarības gadā.

Mūsdienu apstākļiem tā ir maza deva, bet trīsdesmito gadu zemnieku saimniecībās pat pārsniedza vidējo .

Mūsdienu apstākļiem tuvākas izdevumu un ienākumu funkcijas rāda, ka visizdevīgāk izbarot ap 8 c spēkbarības, rēķinot vidēji uz 1 govi gadā.

Optimālo faktora daudzumu, kas maksimizē peļņu, var atrast trejādi.

1. Pielīdzinot ieņēmumu funkcijas pirmo atvasināto faktora vienas vienības cenai :

;

. (13.41)

To pielīdzina skaitlim P = 8:

(13.42)

(c spēkbarības uz vienu govi).

Aprēķinātais plāns nodrošina šādus ieņēmumus (ievietojot ieņēmumu funkcijā), izdevumus (ievietojot izdevumu funkcijā) un peļņu (abu starpību):

Pēc optimālā plāna: Nedaudz novirzoties no optimālā plāna:

___________ ____________

47,62 (Ls no govs) 47,61

(par 1 sant. mazāk)

2. Pielīdzinot sākotnējās parciālās ražošanas funkcijas pirmo atvasināto faktora un rezultāta vienu vienību cenu attiecībai:

(skat. 13.11)

un tālāk kā iepriekš 1.punktā.

3. Pielīdzinot nullei ienākumu un izmaksu funkciju starpības pirmo atvasināto

; (13.43) ;

. (13.44)

un tālāk kā 1.punktā. Optimālais .

Lai pārbaudītu, vai plāns patiešām optimāls, izdara tos pašus aprēķinus, ņemot nedaudz mazāku un nedaudz lielāku :

____________

47,60 (par 2 sant. mazāk)

Spēkbarības devas un tām atbilstošo izslaukumu, kas nodrošina maksimālu peļņu, mēs noteicām, izmantojot augšup izliektu ieņēmumu līkni un lineāru izmaksu taisni. Mikroekonomikas kursos nereti to pašu uzdevumu ieteic risināt, izmantojot lineāru ieņēmumu taisni un lejup izliektu izmaksu līkni ¹⁵. Tādēļ ir jānoskaidro, kā abas pieejas ir saistītas un vai tās dod vienus un tos pašus rezultātus.

_____________

¹⁵ Stiglics Dž. E. un Drifils Dž. Ekonomika: mikroekonomika. R.: 1995. - 287. Lpp.

Salīdzinot abas uzdevumu nostādnes un tiem atbilstošos grafiskos attēlus, redzam, ka mēs uz horizontālās ass esam atlikuši faktora - spēkbarības skalu, bet mikroekonomikas kursā ir atlikta rezultatīvās pazīmes skala, mūsu piemērā - izslaukums.

Lai realizētu pēdējo nostādni, izslaukuma funkcija ir jāizsaka atklātā veidā pret . Tā parādīs, kāda spēkbarības deva ir nepieciešama, lai varētu sagaidīt brīvi izvēlētu izslaukumu. Nosauksīm to par inverso izslaukuma funkciju.

(13.45)

Pārsteidz, ka inversās izslaukuma funkcijas reizinātājs jeb multiplikātors ir tik mazs skaitlis, kāds ir pierasts vienīgi kodolfizikā. Viņu kompensē otrs reizinātājs - pakāpe, kurš savukārt normālas variācijas apgabalā būs ļoti liels skaitlis.

Inversā izslaukuma funkcija dažām brīvi izvēlētām vērtībām ir tabulēta sekojošas tabulas pirmajās divās rindās.

13.4. tabula

Inversa izslaukuma izdevumu un ieņēmumu funkcijas

	2300	2400	2500	2600	2717,22	2800	2900	3000	3200	3500
	0,46	0,74	1,18	1,83	3,0135	4,23	6,28	9,20	19,04	52,29
P	203	206	209	215	224	234	250	274	352	618
V	230	240	250	260	272	280	290	300	320	350
V - P	27	34	41	45	48	46	40	26	-32	-268

Redzam, ka palielinot tikai spēkbarības daudzumu, nav iespējams kāpināt izslaukumu augstāk par apmēram 3000 kg no govs gadā. Tālākam pieaugumam būtu nepieciešamas tik lielas spēkbarības devas, kādas govis vienkārši nespētu apēst. Pats par sevi saprotams, ka tās būtu arī saimnieciski neizdevīgas.

Izdevumu funkciju var atrast, pareizinot inverso izslaukuma funkciju ar vienas vienības faktora (spēkbarības) cenu (piemērā ) un pieskaitot pastāvīgās izmaksas, piemērā 200. Vieglāk to izdarīt, pareizinot ar 8 un pieskaitot 200 13.4. tabulas 2.rindas skaitļus; skat. tabulas 3.rindu. Šī izmaksu līkne, kā tas pieņemts mikroekonomikā, ir izliekta līkne, kas strauji kāpj pie lieliem produkcijas daudzumiem (labajā zarā, skat. 13.10. attēlu).

p - izdevumi

v - ieòçmumi

13.10. attēls. Ieņēmumu un izdevumu funkcijas, kā tās parāda mikroekonomikā.

Ieņēmumi ir izsakāmi ar taisnes vienādojumu, vienkārši pareizinot produkcijas apjomu ar realizācijas cenu, piemērā

, (13.46)

skat. 13.4. tabulas 4.rindu. Peļņu aprēķina kā ieņēmumu un uzdevumu starpību, tabulas pēdējā rinda. Attēlā tā ir attālums starp taisni un līkni.

Tiklab tabulā kā attēlā ir redzams, ka peļņas maksimums piemēra ietvaros tiek sasniegts, ja izslaukums ir ap 2700 kg, ko nodrošina spēkbarības devas ap 3 simti barības vienību, rēķinot vidēji uz govi gadā. Tas pilnīgi atbilst iepriekšējiem aprēķiniem.

Izmantojot jauno aprēķinu variantu, precīzu optimumu var atrast, pielīdzinot nullei peļņas funkcijas pirmo atvasināto. Peļņas funkcija savukārt ir ieņēmumu un izdevumu funkciju starpība.

(13.47)

(13.48)

Pielīdzinot to nullei, iegūstam

(kg)

Tātad vislielāko peļņu nodrošina izslaukums 2717 kg no govs gadā. Kāda šim izslaukumam ir nepieciešama spēkbarības deva, to nosaka, ievietojot 2717 inversajā izslaukuma funkcijā

(c barības vienību).

Optimālais plāns dod ienākumu 0,1 x 2717 = 271,70 (Ls) un prasa izdevumus (ievietojot 3,011 izdevumu funkcijā):

(Ls)

Optimālā peļņa V - P = 271,70 - 224,08 = 47,62 (Ls) (Skat. 13.4. tabulas pēdējās rindas).

Rezultāti, ja neskaita iespējamās noapaļošanas kļūdas, ar abiem paņēmieniem ir iegūti vienādi, tikai pēdējā gadījumā vajadzēja darboties ar atomāri maziem un astronomiski lieliem skaitļiem, kas apgrūtina starprezultātu pārskatāmību un psiholoģisko uzticību.