Statistika un ekonometrija, ievads 1998.g., Oļģerts Krastiņš

Latvijas Republikas

Centrālā statistikas pārvalde

Oļģerts Krastiņš

Statistika un ekonometrija

Mācību grāmata augstskolām

Rīga 1998

SATURA RĀDĪTĀJS

Ievads	10
1. Empīriskie sadalījumi un to raksturotāji	12
1.1. Empīriskie sadalījumi un to īpašības	12
1.1.1. Variācijas rindas	12
1.1.2. Variācijas rindu grafiskie attēli	15
1.1.3. Variācijas rindas raksturotāji	16
1.2. Vidējie lielumi un to īpašības	18
1.2.1. Vidējo lielumu nozīme un veidi	18
1.2.2. Pakāpju vidējie	18
1.2.3. Aritmētiskais vidējais	19
1.2.4. Svērtā aritmētiskā vidējā lietošana	20
1.2.5. Aritmētiskā vidējā īpašības	23
1.2.6. Harmoniskais vidējais	25
1.2.7. Harmoniskā vidējā lietošana	25
1.2.8. Ģeometriskais vidējais	29
1.2.9. Kvadrātiskais vidējais	30
1.2.10. Pakāpju vidējo mažoritāte	30
1.2.11. Mediāna un kvartiles	31
1.2.12. Moda	33
1.3. Variācijas rādītāji un to īpašības	35
1.3.1. Variācijas rādītāji	35
1.3.2. Dispersijas īpašības	39
1.3.3. Intragrupu un starpgrupu dispersijas	41
1.3.4. Dispersiju saskaitīšanas teorēma	43
1.4. Variācijas rindas momenti	46
1.4.1. Momentu jēdziens	46
1.4.2. Variācijas rindas momentu definīcija un pamatformulas	47
1.4.3. Pirmās kārtas momentu īpašības	48
1.4.4. Otrās kārtas momentu īpašības	48
1.4.5. Vispārinājumi	49
1.4.6. Momentu aprēķināšanas piemēri	49
1.4.7. Standartizētie momenti	53
1.5. Asimetrijas un ekscesa rādītāji	53
1.5.1. Momentu asimetrijas un ekscesa koeficienti	53
1.5.2. Struktūras asimetrijas koeficienti	55
2. Gadījumnotikumu varbūtības un darbības ar varbūtībām	56
2.1. Pamatjēdzieni un definīcijas	56
2.1.1. Notikumi varbūtību teorijas izpratnē	56
2.1.2. Vabūtības definīcijas	57
2.1.3. Varbūtības galvenās īpašības	60

2.2. Vienkāršākās darbības ar varbūtībām	61
2.2.1. Nesavienojamu notikumu varbūtību saskaitīšana	61
2.2.2. Neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšana	62
2.2.3. Varbūtību vienādojumi un vienādojumu sistēmas.	64
2.3. Darbības ar savstarpēji atkarīgu notikumu varbūtībām	65
2.3.1. Nosacītā varbūtība	65
2.3.2. Nosacīto varbūtību reizināšana	65
2.3.3. Savienojamu notikumu varbūtību saskaitīšana	66
2.4. Vidējās un pilnās varbūtības formulas. Beijesa formula	67
2.4.1. Vidējā un pilnā varbūtība	67
2.4.2. Beiesa formula	70
2.5. Atkārtoti novērojumi. Bernulli formula un Ņutona binoms	72
3. Gadījumlielumi un to sadalījumi	75
3.1. Gadījumlielumi un to vispārēji sadalījumi	75
3.1.1. Pamatjēdzieni un definīcijas	75
3.1.2. Gadījumlielumu sadalījumi	75
3.1.3. Sadalījumu funkcijas	78
3.1.4. Gadījumlieluma raksturotāji	81
3.2. Vienmērīgs sadalījums	83
3.2.1. Vienmērīga sadalījuma funkcijas	83
3.2.2. Vienmērīga sadalījuma matemātiskā cerība un dispersija	87
3.2.3. Empīriska pārbaude	89
3.3. Binomiālais sadalījums	90
3.3.1. Definīcija un īpašības	90
3.3.2. Binomiālā sadalījuma raksturotāji	92
3.3.3. Binomiālā sadalījuma robeža.	93
4. Normālais sadalījums	95
4.1. Normālā sadalījuma funkcijas un grafiskie attēli	95
4.1.1. Diferenciālā un integrālā funkcija, to grafiskie attēli	95
4.1.2. Normālā sadalījuma parametri	96
4.1.3. Normālā sadalījuma īpašības	96
4.1.4. Standartizēts normālais sadalījums	98
4.2. Normālā sadalījuma lietošana	100
4.2.1. Tiešie uzdevumi : dotā intervāla vārbūtība	100
4.2.2. Netiešie uzdevumi : dotās vārbūtības intervāls	104
4.2.3. Normālā sadalījuma lietošana binomiālā sadalījuma vietā	105
4.2.4. Normālais sadalījums produkcijas kvalitātes kontrolei	108
4.2.5. Normālā sadalījuma uzdevumu klasifikācija (kopsavilkums)	110
4.2.6. Normālā sadalījuma tabulu savstarpēja aizvietošana	110
4.2.7. Normālā sadalījuma funkciju tieša izskaitļošana	112
4.3. Logaritmiski normālā sadalījuma uzdevums	113

5. Izlases metode	116
5.1. Uzdevuma nostādne, pamatjēdzieni un apzīmējumi	116
5.2. Izlašu veidi	119
5.2.1. Vienkārša gadījumizlase	120
5.2.2. Mehāniskā izlase	121
5.2.3. Stratificēta jeb tipoloģiska gadījumizlase	121
5.2.4. Sērijveida izlase	122
5.2.5. Daudzpakāpju izlase	122
5.2.6. Daudzfāzu izlase	122
5.3. Ģenerālkopas vērtējumu aprēķināšana	123
5.3.1. Vienkārša gadījumizlase	123
5.3.2. Stratificēta gadījumizlase	125
5.3.3. Divpakāpju gadījumizlase	130
5.4. Vienkāršas gadījumizlases kļūdas un vērtējuma intervāli	133
5.4.1. Aritmētiskā vidējā vērtēšana ar skaitli	133
5.4.2. Aritmētiskā vidējā vērtēšana ar intervālu	135
5.4.3. Nepieciešamā izlases lieluma aprēķināšana	136
5.4.4. Relatīvā biežuma vērtēšana	137
5.4.5. Dažādu variāciju rindas rādītāju vērtēšana	138
5.5 Izlases kļūdas dažiem citiem izlases veidiem	139
5.5.1. Stratificēta (tipoloģiska) izlase	139
5.5.2. Sērijveida izlase	141
5.5.3. Divpakāpju izlase	142
5.6. Izlases kļūdas un normālais sadalījums	142
5.6.1. Normāli sadalīta gadījumlieluma un tā aritmētiskā vidējā vērtēšana	142
5.6.2. Gadījumlieluma intervāla varbūtības vērtēšana	145
5.6.3. Relatīvā biežuma vērtēšana, ja tas izlasē ir ļoti mazs vai ļoti liels skaitlis	147
6. Statistiskās hipotēzes	149
6.1. Uzdevuma nostādne	149
6.2. Statistisko hipotēžu pamatjēdzieni	150
6.3. Nulles hipotēze par divu aritmētisko vidējo starpību	152
6.3.1. Hipotēzes formulēšana un tās pārbaudes priekšnoteikumu konstatēšana	152
6.3.2. Hipotēzes pārbaudei vajadzīgo datu apstrāde	152
6.3.3. Empīriskā t koeficienta aprēķināšana	154
6.3.4. t koeficienta kritiskās robežvērtības atrašana un lēmuma pieņemšana	156
6.4. Nulles hipotēzes pārbaude par divu dispersiju starpību	157
6.5. Hipotēzes pārbaude par ik pa pāriem saistītu novērojumu aritmētisko vidējo starpību	159
6.5.1. Uzdevuma nostādne un piemērs	159
6.5.2. Rezultātu novērtēšana un nulles hipotēzes formulēšana	160
6.5.3. Nulles hipotēzes pārbaude	161
6.6. Nulles hipotēzes pārbaude par divu relatīvo biežumu starpība	163


7. Lielā skaita likums un teorētiskie sadalījumi		166
7.1. Lielā skaita likums		166
7.1.1. Loģiski statistiskā un matemātiskā interpretācija		166
7.1.2. Lielā skaita likuma robežteorēmas		166
7.1.3. Gadījumlieluma vērtēšana, nezinot tā sadalījumu. Čebiševa nevienādība		167
7.2. Normālā un logaritmiski normālā sadalījuma aprēķināšana		171
7.2.1. Normālā sadalījuma aprēķināšana		171
7.2.2. Logaritmiski normālā sadalījuma aprēķināšana		174
7.2.3. Izlīdzināšanas kvalitātes novērtēšana ar Hī kvadrāta kritēriju		176
8. Dispersijas analīze		179
8.1. Vienkāršā jeb vienfaktora dispersijas analīze		179
8.1.1. Dispersijas analīzes būtība un uzdevumi		179
8.1.2. Noviržu kvadrātu summmas sadalīšana		180
8.1.3. Brīvības pakāpju skaita sadalīšana		185
8.1.4. Dispersiju attiecības aprēķināšana un novērtēšana		185
8.1.5. Analītiskā grupējuma dispersijas analīze		188
8.2. Daudzfaktoru dispersijas analīze		190
8.2.1. Daudzfaktoru dispersijas analīzes uzdevumi, veidi un darba izpildes secība		190
8.2.2. Noviržu kvadrātu summas sadalīšana komponentēs		192
8.2.3. Brīvības pakāpju skaita sadalīšana, dispersiju attiecību aprēķināšana un novērtēšana		195
8.2.4. Noviržu kvadrātu summu aprēķināšana ar momentu metodi		197
9. Vienkāršā lineārā regresija un korelācija		199
9.1. Uzdevuma nostādne		199
9.2. Sākotnējā informācija sakarību pētīšanai un analītiskā grupēšana		200
9.3. Vienkāršas lineārās regresijas vienādojums		206
9.3.1. Modelis un tā parametru aprēķināšana		206
9.3.2. Regresijas skaitliska ilustrācija		208
9.3.3. Regresijas parametru interpretācija		211
9.3.4. Aprēķināto jeb teorētisko lielumu un noviržu interpretācija		214
9.3.5. Rezultatīvās un faktorālās pazīmes attiecība (vidējais rezultāts)		216
9.4. Sakarību ciešuma rādītāji		218
9.4.1. Korelācijas un determinācijas koeficienti		218
9.4.2. Noviržu kvadrātu summas un dispersijas		221
9.4.3. Vērtējuma standartkļūda un robežkļūda		225
9.5. Vienkāršās regresijas un korelācijas rādītāju izlases kļūdas un nulles hipotēžu pārbaude		228
9.5.1. Regresijas koeficienta standartkļūda un robežkļūda		228
9.5.2. Regresijas vienādojuma brīvā locekļa standartkļūda un robežkļūda		230
9.5.3. Regresijas vienādojuma un vērtējuma pilnā kļūda		231
9.5.4. Korelācijas koeficienta izlases vērtējuma apgabals		234
9.5.5. Nulles hipotēžu pārbaude		236
9.6. Daži papildjautājumi		236
9.6.1. Saistītās regresijas		236
9.6.2. Svarīgākie regresijas un korelācijas analīzes priekšnoteikumi		237
10. Nelineārā regresija		240
10.1. Uzdevuma nostādne		240
10.2. Vienkāršākie nelineārie modeļi		241
10.3. Sakarību formas izvēle		246
10.3.1. Sakarību formas profesionāla pamatošana		246
10.3.2. Sakarības formas izvēle pēc korelācijas diagrammas		247
10.3.3. Izmēģinājuma modeļi		248
10.4. Linearizācija		248
10.5. Linearizācijas trūkumi		251
10.6. Mainīgo lielumu mērvienību maiņa		254
11. Daudzfaktoru regresija un korelācija		255
11.1. Lineāra daudzfaktoru regresijas uzdevuma nostādne un pamatformulas.		255
11.2. Uzdevuma skaitliska ilustrācija.		259
11.3. Daudzfaktoru regresijas vienādojuma interpretācija		261
11.3.1. Regresijas koeficientu interpretācija		261
11.3.2. Regresijas koeficientu standartizācija		263
11.3.3. Parciālā regresija		265
11.3.4. Daudzfaktoru regresijas vienādojuma lietošana		266
11. 4. Daudzfaktoru sakarību ciešuma rādītāji		267
11.4.1. Neizskaidrotā dispersija un vērtējuma standartkļūda		267
11.4.2. Daudzfaktoru determinācijas un korelācijas koeficienti.		269
11.4.3 Parciālās korelācijas koeficienti		270
11.5.Daudzfaktoru regresijas un korelācijas izlases kļūdas		271
11.5.1. Daudzfaktoru regresijas koeficienta standartkļūda un robežkļūda		271
11.5.2 Regresijas un indivuduālo vērtējumu izlases kļūdas		272
11.5.3. Nulles hipotēzes pārbaude par regresijas koeficientu		272
11.5.4. Nulles hipotēze par daudzfaktoru korelācijas koeficientu		273
11.6. Papildjautājumi		273
11.6.1. Normālvienādojumu sistēmas varianti		273
11.6.2. Novērojumu statistiskie svari		275
11.6.3. Daudzsoļu regresijas analīze		276
11.7. Rekomendācijas statistisko sakarību modeļu izveidei		278
11.7.1. Rezultatīvās pazīmes izvēle		278
11.7.2. Fakotrālo pazīmju izvēle: kvalitatīvās un kvantitatīvās analīzes atbilstība		279
11.7.3. Datu metriska samērojamība		279
11.7.4. Faktoru dublēšanās aizliegums		280
11.7.5. Faktoru līdztiesība jeb nepakārtotība		280
11.7.6. Relatīvo lielumu vienota bāze		281
11.7.7. Pieļaujamā faktoru savstarpējā korelācija		281
11.7.8. Sakarību neapgriežamība		282
11.7.9. Vienkāršības princips		282
11.7.10. Sākotnējo datu pareizība un precizitāte		282

12. Kovariācijas analīze		284
12.1. Uzdevuma nostādne un kovariācijas analīzes veidi		284
12.1.1. Dispersijas, regresijas un kovariācijas analīzes specifika		284
12.1.2. Vienkārša kovariācijas analīzes uzdevuma nostādne		284
12.1.3. Kovariācijas analīzes ģeometriska interpretācija un būtība		285
12.1.4. Kovariācijas analīzes veidi		287
12.2. Kovariācijas analīzes modelis un normālvienādojumu sistēma		287
12.2.1. Kovariācijas analīzes modelis		287
12.2.2. Dažas kovariācijas modeļa īpašības		288
12.2.3. Kovariācijas analīzes normālvienādojumu sistēma		289
12.2.4. Skaitļošanas darba vienkāršošana, izmantojot momentu metodes formulas		291
12.2.5. Kovariācijas analīzes piemērs un rezultātu interpretācija		292
12.2.6. Gradāciju efekti un gradāciju vienādojumi		295
12.3. Kovariācijas sakarību ciešuma rādītāji		296
12.3.1. Sakarību ciešuma rādītāju veidi		296
12.3.2. Neizskaidrotā noviržu kvadrātu summa un vērtējuma standartkļūda		296
12.3.3. Determinācijas un korelācijas koeficienti		298
12.4. Izlases kļūdas un nulles hipotēžu pārbaude		299
12.4.1. Regresijas koeficientu izlases kļūdas		299
12.4.2. Svarīgāko nulles hipotēžu pārbaude		301
13. Ievads ražošanas funkciju teorijā		303
13.1. Vispārējas ziņas par ražošanas funkcijām		303
13.1.1. Jēdziena izcelšanās		303
13.1.2. Ražošanas funkcijas un regresijas vienādojumi		303
13.1.3. Ražošanas funkcijas un tās vienkāršāko pārveidojumu grafiska ilustrācija		304
13.2. Ražošanas funkcijas praksē		308
13.2.1. Izslaukuma funkcijas		309
13.2.2. Parciālās ražošanas funkcijas		310
13.3. Ražošanas funkciju matemātiski pārveidojumi		313
13.3.1. Papildus rezultāta funkcija		313
13.3.2. Vidējais un papildus rezultāts		314
13.3.3. Izokvantas		318
13.3.4. Faktoru samaināmības funkcijas un samaināmības normas		321
13.3.5. Faktoru attiecību optimizācija		325
13.3.6. Izoklīnas		327
13.4. Ieņēmumu un izdevumu funkcijas		328
14. Dinamikas rindas		334
14.1. Dinamikas rindas uzbūve, izmaiņu rādītāji un vidējie lielumi		334
14.1.1. Dinamikas rindas un to veidi		334
14.1.2. Dinamikas izmaiņu rādītāji		335
14.1.3. Dinamikas rindas vidējie		336
14.2. Dinamikas rindas analītiska izlīdzināšana		339
14.2.1.Uzdevuma nostādne		339
14.2.2.Trenda veida pamatojums		339
14.2.3. Taisnes vienādojuma atrašana		341
14.2.4. Izlīdzināšanas kvalitātes novērtēšana		343
14.3. Sezonalitātes pētīšana		346
14.3.1. Vienkāršākie sezonalitātes rādītāji		346
14.3.2. Sezonalitātes izmaiņu pētīšana		348
14.3.3. Sezonalitātes viļņa modelēšana ar trigonometriskajām funkcijām		351
14.4. Vairākkomponentu dinamikas rindas modelēšana		357
14.4.1. Uzdevuma nostādne un lineāri trendi		357
14.4.2. Ciklometriskais modelis		360
14.4.3. Periodisku svārstību modelēšana		364
14.4.4. Lineāra trenda un periodisku svārstību modeļi		367
14.4.5. Ciklometriska trenda un periodisku svārstību modelis		370
15. Neparametriskās statistikas metodes		375
15.1. Variācijas rindas neparametriska apstrāde un neparametriski rādītāji		376
15.1.1. Variācijas rinda un tās novērtēšana		376
15.1.2. Mediāna		378
15.1.3. Neparametriskie struktūras rādītāji		380
15.1.4. Kvantiļu variācijas rādītāji		382
15.2. Hī kvadrāta kritērijs neparametriskā statistikā		384
15.2.1. Sadalījuma vienmērīguma novērtēšana		385
15.2.2. Divu izlašu sadalījumu savstarpēja salīdzināšana		388
15.3. Hī kvadrāta alternatīvi kritēriji		391
15.3.1. Vulfa G - kritērijs		391
15.3.2. Kolmagorova - Smirnova kritērijs		393
15.4. Atkārtotu novērojumu izvērtēšana ar binomiālo sadalījumu		394
15.4.1. Trīskāršā testa rezultātu novērtēšana		394
15.4.2. Grafiska ilustrācija		396
15.4.3. Dažas varbūtību binomiālā sadalījuma īpašības un sadalījuma robeža		398
15.5. Hipotēzes par retiem notikumiem tieša pārbaude		398
15.6. Rangu kritēriji		401
15.6.1. Divu savstarpēji neatkarīgu izlašu salīdzināšana ar U kritēriju		401
15.6.2. Iedarbības efekta novērtēšana; Vilkoksona rangu kritērijs		404
15.6.3. Aproksimācija ar normālo sadalījumu		406
15.7. Neparametriski sakarību rādītāji		408
15.7.1. Spirmena un Kendela korelācijas koeficienti		408
15.7.2. Kontingences koeficients		411
15.7.3. Teila regresijas koeficients		413
Pielikumi	417

Ievads

Varbūtību teoriju un matemātisko statistiku arvien plašāk lieto visdažādākajās zinātņu nozarēs. Šo matemātikas kursu praktisks lietojums, īpaši ekonomikas un socioloģijas praksē, veido statistiku. Statistika no vienas puses pieder matemātikai, no otras - tai zinātnes nozarei, kur to pielieto : ekonomikai, demogrāfijai, socioloģijai utt.

Statistika nodarbojas ar pētījumam vajadzīgo datu savākšanu, apstrādi un rezultātu izvērtēšanu. Datu savākšana mūsdienās gandrīz vienmēr ir saistīta ar izlases metodi, kurai veltīta viena grāmatas nodaļa. Taču, lai izlase būtu mērķtiecīga, jau iepriekš ir jāzina, kā savāktie dati tiks izstrādāti, citiem vārdiem, datu statistiskas izstrādes un izvērtēšanas pamati. Tādēļ nodaļa par izlases metodi grāmatā nav pirmā.

Datu apstrādi mūsdienās parasti veic ar datortehniku, izmantojot jau gatavu programmu nodrošinājumu. Darba izpildītāja uzdevums ir izvēlēties pētījumam vispiemērotāko metodi un atbilstošo programmu vai programmas. Vēl svarīgāk ir prast pareizi izskaidrot, novērtēt un interpretēt iegūtos rezultātus.

Lai spētu profesionāli pareizi interpretēt datoraprēķinu rezultātus, vismaz lielās līnijās ir jāzina katras lietotās metodes būtība, tās lietošanas priekšnoteikumi, ierobežojumi un rezultātu interpretācijas un lietošanas paņēmieni.

Šādas zināšanas un iemaņas vislabāk iegūt, kur tas iespējams, katras metodes dažus uzdevumus atrisinot ar vienkāršāku skaitļošanas tehniku, lai redzētu, kā veidojas starprezultāti, kā tos ietekmē dažādu priekšnoteikumu izpilde utt. Kad šādas iemaņas iegūtas, aprēķinus var izpildīt automātiskā režīmā.

Ņemot vērā teikto, šajā grāmatā, salīdzinot ar autora iepriekšējām mācību grāmatām, mazāk vērības veltīts aprēķinu tehnikai, bet daudz vairāk - rezultātu interpretācijai.

Termins “ekonometrija” ir veidots līdzīgi vēsturiski vecākām terminam “biometrija”. Pēdējā pētī matemātiskās statistikas izmantošanu bioloģisko pētījumu rezultātu apstrādē un izvērtēšanā.

Ekonometrija veido robežzinātni starp ekonomikas teoriju, statistiku un matemātiku. Kā robežzinātnei tās robežas nav stingri nospraustas. Līdz ar to vairākas šīs grāmatas nodaļas vienlaikus pieder gan statistikai, gan ekonometrijai (vienkāršā, nelineārā, daudzfaktoru regresija u.c.). Kā specifiska ekonometrijas nodaļa jāvērtē “Ievads ražošanas funkciju teorijā”, kas vairāk saskaras ar mikroekonomiku un matemātisko ekonomiku.

Mācību grāmata paredzēta statistikas un ekonometrijas studijām bakalaura un maģistra līmenī.

Studējot bakalaura līmenī, dažas nodaļas un citu nodaļu sarežģītākos paragrāfus var izlaist, piemēram, dispersijas un kovariācijas analīzi, dinamikas rindu modelēšanu, neparametriskās statistikas metodes. Studiju programmas konkrētais saturs dažādām augstskolām būs atšķirīgs, un par tā īpatnībām informēs kursa docētājs. Studējot maģistra līmenī, vajadzēs izmantot papildus literatūru; arī to ieteiks docētājs. Šīs grāmatas autora sarakstītie mācību līdzekļi par šaurākiem jautājumiem uzrādīti grāmatas beigās.

Mācību grāmatas pamatā izmantota autora mācību grāmata “Varbūtību teorija un matemātiskā statistika” R.: Zvaigzne, 1978. un 1985.g. Jau toreiz autors gribēja izveidot grāmatu ar praktisku ievirzi, kura būtu domāta ekonomistiem un risinātu analogus uzdevumus, kā biometrija biologiem. Taču toreiz “ekonometrija” nebija starp “atzītajām” zinātnēm un “statistiku” vajadzēja traktēt kā sabiedrisku un partejisku zinātni. Tādēļ autors izvēlējās matemātisku virsrakstu, izpelnoties matemātiķu aizrādījumus, ka grāmatas saturs neatbilst virsrakstam, jo varbūtību teoriju un matemātisko statistiku matemātiķi saprot kā universālu matemātisku kursu.

Tagad grāmata var iznākt ar īsto virsrakstu.