Dispersijas analīze

8. Dispersijas analīze

8.1. Vienkāršā jeb vienfaktora dispersijas analīze

8.1.1. Dispersijas analīzes būtība un uzdevumi

Dispersijas analīzes būtību zināmā mērā atklāj tās nosaukums. Tā ir analīzes metode, ar kuru pēta kādas pazīmes dispersiju. Izdarīt dispersijas analīzi nozīmē sadalīt dispersiju sastāvdaļās jeb komponentēs un tās salīdzināt.

Dispersijas analīzi visbiežāk lieto statistisko hipotēžu pārbaudei un secinājumu matemātiskai argumentācijai. Galvenā tās atšķirība no iepriekšējā nodaļā aplūkotajām metodēm ir šāda. Iepriekšējā nodaļā salīdzinājām divu izlašu vidējos, relatīvos biežumus, dispersijas; tāpat divus sadalījumus: empīrisko un teorētisko. Dispersijas analīze ļauj pārbaudīt hipotēzes par vairāku izlašu (grupu) līdzību vai atšķirību.

Tā kā dispersijas analīze dod iespēju pārbaudīt hipotēzes par grupās sadalītu statistisko kopu, to var uzlūkot par grupēšanas loģisku turpinājumu. Tomēr dispersijas analīze nav obligāti jāsaista ar grupēšanu. Var pārbaudīt arī hipotēzes par tādām kopas daļām, piemēram, klasēm, kuras izdalītas klasifikācijas rezultātā un par kurām savākti dati, veicot patstāvīgus novērojumus.

Dispersijas analīzi var lietot analītiskā grupējuma novērtēšanai. Izdarot analītisko grupēšanu, statistisko kopu sagrupē pēc vienas pazīmes un par katru grupu aprēķina kādas citas pazīmes vidējo lielumu. Šāds grupējums dod iespēju konstatēt, vai starp abām pazīmēm eksistē sakarības un kāds ir šo sakarību raksturs. Ja gupējums izdarīts pēc faktorālās pazīmes, tad var aprēķināt rezultatīvās pazīmes šādas dispersijas:

- kopējo jeb parasto dispersiju kas raksturo datu variāciju ap visas kopas aritmētisko

vidējo;

- izskaidroto jeb faktorālo dispersiju kas raksturo grupu aritmētisko vidējo variāciju ap

visas kopas vidējo;

- atlikušo jeb neizskaidroto dispersiju kas raksturo datu variāciju ap attiecīgo grupu

vidējiem.

Ja izskaidrotā dispersija ir relatīvi liela, bet neizskaidrotā maza, tas nozīmē, ka grupēsanas pazīme ir cieši saistīta ar to pazīmi, kuras dispersiju analizē, - un otrādi. Tādēļ dispersijas analīzi var izmantot sakarību statistiskās nozīmības pētīšanai, noskaidrojot, vai šīs sakarības ir nozīmīgas vai arī tās radušās gadījuma rakstura cēloņu dēļ.

Daži uzdevumi, kuru risināšanai var lietot dispersijas analīzi.

1. Noskaidrot, vai strādnieku izglītība būtiski ietekmē darba ražīgumu. Ja izglītību reģistrē, izmantojot tikai divas gradācijas, tādu uzdevumu var atrisināt ar nulles hipotēzes pārbaudi. Ja turpretī izdala vairākas gradācijas, tad ar hipotēžu pārbaudi var salīdzināt savā starpā jebkuras divas gradācijas, bet grūti salīdzināt visas gradācijas vienlaikus. Tādu uzdevumu var atrisināt dispersijas analīze.

2. Noskaidrot, vai kādas preces, piemēram, apģērbu pieprasījums, rēķinot uz vienu iedzīvotāju, dažādos apvidos atšķiras būtiski. Arī šajā gadījumā, ja izdala tikai divas teritoriālas grupas, piemēram, pilsētas un laukus, var lietot vienkāršu hipotēzes pārbaudi. Ja izdalīto apvidu ir vairāk, tad izdevīgāk lietot dispersijas analīzi.

3. Noskaidrot, vai studentu sekmība visos augstskolas kursos ir aptuveni vienāda vai arī tā atšķiras būtiski.

Dispersijas analīzi plaši lieto dažādu eksperimentu un izmēģinājumu novērtēšanā.

Dispersijas analīzes tipveida shēma satur šādas darbības:

1) noviržu kvadrātu summas sadalīšanu komponentēs;

2) brīvības pakāpju skaita sadalīšanu komponentēs;

3) dispersiju aprēķināšanu uz vienu brīvības pakāpi;

4) dispersiju attiecības F atrašanu;

5) F robežvērtības atrašanu matemātiskajās tabulās, ņemot vērā vajadzīgo nozīmības līmeni,

empīriskās F attiecības salīdzināšanu ar kritisko robežu un lēmuma pieņemšanu.

8.1.2. Noviržu kvadrātu summmas sadalīšana

Dispersijas analīzē dispersijas aprēķina, noviržu kvadrātu summu dalot ar brīvības pakāpju skaitu. Tādēļ ir nepieciešams sadalīt komponentēs atsevišķu noviržu kvadrātu summu un attiecīgi - brīvības pakāpju skaitu. Pēc tam var izpildīt dalīšanas operāciju.

Šajā paragrāfā pievērsīsimies noviržu kvadrātu summas sadalīšanai izskaidrotajā un neizskaidrotajā daļā, ja dalījuma pamatā ir grupējums. Nākošais paragrāfs veltīts brīvības pakāpju sadalīšanai.

Noviržu kvadrātu summas dispersijas analīzē parasti apzīmē ar Q, pie tam Q bez indeksa nozīmē kopējo noviržu kvadrātu summu, atlikušo jeb neizskaidroto noviržu kvadrātu summu. Faktorus, resp. grupēšanas pazīmes dispersijas analīzē pieņemts apzīmēt ar alfabēta pirmajiem burtiem. Tādēļ, ja grupējums ir izdarīts pēc vienas pazīmes, izskaidroto jeb faktorālo noviržu kvadrātu summu apzīmē ar Var izmantot arī skaitļu indeksus, piem., .

Noviržu kvadrātu summas vienfaktora dispersijas analīzē saista šāda sakarība:

(8.1)

Sākotnējo informāciju, ko izmanto noviržu kvadrātu summas sadalīšanai, ir lietderīgi sakārtot šādā tabulā.

8.1. tabula

Sākotnējā informācija dispersijas analīzei

Grupas, grupējot pēc faktora A	Novērojumi



...	... ... ... ... ... ...

...	... ... ... ... ... ...

Noviržu kvadrātu summas var aprēķināt kā ar noviržu, tā arī ar momentu metodi.

Noviržu metode labāk atklāj aprēķinu būtību un ir uzskatāma par pamatmetodi. No skaitļošanas darba samazināšanas viedokļa priekšrocības ir momentu metodei, tādēļ to plaši lieto praksē.

Izmantojot noviržu metodi, noviržu kvadrātu summas atrod pēc šādām pamatformulām (8.2.):

(8.2)

kur faktiskais rezultatīvās pazīmes lielums (datu kopas elements) i - tajā

kopas vienībā, kura ietilpst j - tajā grupā;

j - tās grupas aritmētiskais vidējais;

visas kopas aritmētiskais vidējais;

j - tās grupas pēdējās vienības numurs (arī vienību skaits j - tajā

grupā);

pēdējās grupas numurs (arī grupu skaits pētījamā kopā);

kopas vienību skaits, .

Momentu metodes formulas, pēc kurām var izskaitļot ir dotas 8.2. tabulā (nākošā lpp.).

Lai vienkāršotu momentu metodes formulu pierakstu, dažreiz izmanto šādus apzīmējumus:

; šo lielumu sauc par korekcijas locekli;

- atsevišķas grupas datu summa;

- atsevišķas grupas datu kvadrātu summa;

- visas kopas datu summa;

- visas kopas datu kvadrātu summa.

Tad momentu metodes formulas var pierakstīt tā, kā tas izdarīts 8.2.tabulas pēdējā ailē.

8.2. tabula

Noviržu kvadrātu summu aprēķināšanas formulas

Rādītāji

Noviržu

Momentu metode

(noviržu kvadrātu summas)

metode

ar pilnu pierakstu

ar vienkāršotu pierakstu

Kopējā

Izskaidrotā

Neizskaidrotā (grupu iekšējā)

Piemērs. Nejauši izvēloties, izraudzīti divpadsmit strādnieki ar dažādu izglītību un fiksēts viņu darba ražīgums. Izglītība dalīta trīs grupās: 1) pamatizglītība, 2) nepabeigta vidējā, 3) vidējā un augstākā. Reģistrētais darba ražīgums ir parādīts 8.3. tabulā.

Jānoskaidro, vai izglītības ietekme uz darba ražīgumu ir būtiska, vai arī to var izskaidrot ar nejaušību.

Aprēķināsim aritmētiskos vidējos		8.3. tabula
=3; =4; =5.	Divpadsmit strādnieku darba ražīgums
Varētu secināt, ka augstāks izglītības
līmenis nodrošina augstāku darba ražīgumu. Tomēr, ņemot vērā, ka izlase ir	Izglītības līmenis (grupas)	Darba ražīgums (novērojumi)
ļoti maza un katras grupas ietvaros vē-
rojama diezgan liela variācija, pārbau-	Pamatskolas	3 2 4 3
dīsim šī secinājuma pareizību ar disper-	Nepabeigtā vidējā	4 3 5 4
sijas analīzes metodēm.	Vidējā un augstākā	4 6 5 5

Šai nolūkā izvirza dispersijas analīzes nulles hipotēzi, ka ģenerālā kopā grupu vidējie ir vienādi. Uzdevums ir pārbaudīt, vai šo hipotēzi var noraidīt ar pietiekami augstu varbūtību, vai nevar noraidīt.

Noviržu kvadrātu summas var aprēķināt pēc noviržu metodes, kuras formulas ir loģiski saprotamākas, bet dažreiz darbietilpīgākas. Tā, piemēram, noviržu kvadrātu summa no grupas aritmētiskā vidējā pirmajai grupai ir

Līdzīgi aprēķina noviržu kvadrātu summas otrajai un trešajai grupai. Piemēram šo summu vērtības ir 2 un 2.

Kopējo neizskaidroto jeb intragrupu noviržu kvadrātu summu var aprēķināt, summējot noviržu kvadrātu summu pa visām grupām:

Noviržu kvadrātu summu no kopējā aritmētiskā vidējā var aprēķināt šādi:

Izskaidroto jeb starpgrupu noviržu kvadrātu summu var aprēķināt, atņemot no kopējās noviržu kvadrātu summas intragrupu noviržu kvadrātu summu:

Piemērā Piebildīsim, ka var aprēķināt arī tieši:

8.4. tabulā (sk. nāk. lpp) parādīti noviržu kvadrātu summu izskaitļojumi, izmantojot momentu metodi.

Kopējā noviržu kvadrātu summa ir:

Neizskaidrotā (grupu iekšējā) noviržu kvadrātu summa ir

Izskaidrotā noviržu summa ir

8.4. tabula

Darba tabula noviržu kvadrātu summu aprēķināšanai

ar momentu metodi

Grupas j	Sākot- nējie dati	Datu kvadrāti	Summu kvadrāti	Vidējie summu kvadrāti	Noviržu kvadrātu summas grupu ietvaros

1.	3	9
	2	4
	4	16
	3	9
	12	38		144 : 4 = 36	38 - 36 = 2

2.	4	16
	3	9
	5	25
	4	16
	16	66		256 : 4 = 64	66 - 64 = 2

3.	4	16
	6	36
	5	25
	5	25
	20	102		400 : 4 = 100	102 - 100 = 2
	48	206		2304 : 12 =192

Var izdarīt šādu pārbaudi: ; 14 = 6 + 8.

Bieži dispersijas analīzē aprēķina kopējo noviržu kvadrātu summu Q un izskaidroto jeb starpgrupu noviržu kvadrātu summu , bet neizskaidroto jeb atlikušo noviržu kvadrātu summu iegūst kā starpību:

No tā arī radies nosaukums. Piemērā = 14 - 8 = 6 .

Kā redzams, rezultāti, kas iegūti ar noviržu metodi, sakrīt ar rezultātiem, kas iegūti ar momentu metodi, tādēļ ir iespējams izvēlēties to metodi, kura konkrētajā gadījumā šķiet vienkāršāka.

8.1.3. Brīvības pakāpju skaita sadalīšana

Dispersijai, ko aprēķina datu novirzēm no kopējā aritmētiskā vidējā, ir n -1 brīvības pakāpe. Starpgrupu dispersiju jeb izskaidroto dispersiju veido grupu vidējo novirzes no kopējā aritmētiskā vidējā. Tādēļ šai dispersijai ir k - 1 brīvības pakāpe, kur k ir izdalīto grupu skaits. Neizskaidroto jeb intragrupu dispersiju veido individuālo datu novirzes no grupu vidējiem. Tādēļ atsevišķi ņemtā grupā tai ir n_j -1 brīvības pakāpe, kur n_j ir vienību (datu) skaits j - tajā grupā. Kopējais intragrupu dispersijas brīvības pakāpju skaits visās grupās ir , kur k ir izdalīto grupu skaits. Summējot katru locekli atsevišķi, dabūjam, ka brīvības pakāpju skaits n ir . Tādēļ var rakstīt, ka brīvības pakāpju skaits

visai dispersijai n = n - 1 ; (8.3)

starpgrupu dispersijai n_A = k - 1 ; (8.4)

intragrupu dispersijai n_Z = n - k . (8.5)

Tādējādi kopējais brīvības pakāpju skaits ir sadalīts komponentēs:

n = n_A+ n_Z , (8.6)

jo n - 1 = k - 1 + n - k = n - 1.

Piemērā n = n - 1 = 12 - 1 = 11 ;

n_A = k - 1 = 3 - 1 = 2 ;

n_Z = n - k = 12 - 3 = 9 .

8.1.4. Dispersiju attiecības aprēķināšana

un novērtēšana

Pēc tam kad noviržu kvadrātu summa un brīvības pakāpes ir sadalītas, aprēķina dispersijas uz vienu brīvības pakāpi :

; (8.7)

; (8.8)

, (8.9)

kur - kopējā dispersija;

- izskaidrotā jeb faktorālā dispersija;

- neizskaidrotā dispersija.

Jāievēro, ka , jo, aprēķinot šīs dispersijas, nav ņemts viens un tas pats dalītājs, kā to dara dispersiju saskaitīšanas teorēmā, bet dažādi dalītāji - katrai dispersijai savs brīvības pakāpju skaits.

Piemērā: ; ;

Tagad dispersijas analīzes nulles hipotēzi var komentēt citā aspektā. Ja nulles hipotēze ir pareiza, tad noviržu kvadrātu summām un jābūt aptuveni proporcionālām atbilstošajām brīvības pakāpēm; resp., abām dispersijām, rēķinātām uz vienu brīvības pakāpi, jābūt aptuveni vienādām. Salīdzinot un , var spriest, vai pazīme, pēc kuras ir izdarīts grupējums, ir saistīta ar otru statistisko pazīmi, vai nav saistīta ar to. Ja grupējums izdarīts pēc faktorālās pazīmes, var spriest, vai tā rezultatīvo pazīmi būtiski ietekmē vai neietekmē.

Ja nulles hipotēze ir pareiza, vienādība praktiski realizējas tikai tad, ja izlase ir ļoti liela (robežgadījumā - bezgalīga). Reālās izlasēs viena no dispersijām vienmēr ir lielāka nekā otra.

Tādēļ dispersijas analīzē pati svarīgākā nozīme ir izskaidrotās un neizskaidrotās dispersijas attiecībai, ko apzīmē ar burtu F :

(8.10)

Piemērā

Lai noskaidrotu, vai faktorālā pazīme, pēc kuras grupēta kopa, būtiski ietekmē rezultatīvo pazīmi, aprēķinātā attiecība F jāsalīdzina ar kritisko vērtību pēc tabulām. Ja izvēlas nozīmības līmeni , tad F tabulās var atrast kritisko vērtību 4,26. Attiecības F empīriskā vērtība ir 5,97, tātad lielāka par tabulas vērtību. Tādēļ nulles hipotēzi ir iespējams noraidīt ar varbūtību augstāku par 0,95. Izglītības ietekme uz darba ražīgumu ir statistiski nozīmīga.

Dispersijas analīzē, tāpat kā jebkurā citā statistikas pētījumā, vēlams ņemt pietiekami lielas izlases kopas. Ja, piemēram, iepriekšējā uzdevumā no katras grupas izslēdz pēdējo strādnieku, kura izstrāde sakrīt ar ar grupas vidējo izstrādi, tad grupējuma kopaina nemainās, jo nemainās ne grupu vidējais, ne kopējais vidējais, ne arī grupu dispersijas. Nemainītos arī secinājumi, kādus izdarītu ekonomiskās statistikas kursā. Tomēr dispersijas analīzē iegūst citus rezultātus. Nav grūti izrēķināt, ka šādā gadījumā F=3, bet F_0,95= 5,14. Tātad F< F_0,95 un nulles hipotēzi noraidīt nevar; izglītības ietekme uz darba ražīgumu paliek nepierādīta.

Tāpat svarīgi ir pamatot praktiski nepieciešamo hipotēzes pārbaudes nozīmības līmeni.

Ja izvirzīto hipotēzi grib pārbaudīt ar nozīmības līmeni 0,01, tad sākotnējam piemēram par 12 strādnieku grupu F_0,01= 8,02. Faktiskais F= 5,97. Tātad F < F_0,01un nulles hipotēze paliek spēkā. Ar varbūtību 0,99 nevar apgalvot, ka dati par 12 strādniekiem pierāda izglītības ietekmi uz darba ražīgumu. Ja ir vajadzīgs tik augsts nozīmības līmenis, jāņem lielāka izlase.

F kritērijs parāda, ka atšķirības starp grupu vidējiem lielumiem (piemērā - darba ražīgumu atsevišķās grupās) ir statistiski nozīmīgas ar varbūtību 0,95.

Papildus vēl var noskaidrot, tieši starp kuriem vidējiem ir šīs nozīmīgās atšķirības, jo dažu grupu vidējo atšķirības var būt arī nenozīmīgas.

Šo uzdevumu risina, vadoties no pieņēmuma, ka visai kopai ir raksturīga kopēja intragrupu dispersija , kas raksturo variāciju ar grupu vidējiem.

Piemērā, =0,6667.

Aprēķinot kvadrātsakni, iegūstam standartnovirzi . Tā kā katras grupas vidējais ir aprēķināts no 4 novērojumiem, tad, lai aprēķinātu šī vidējā standartkļūdu, standartnovirze ir jādala ar . Tādējādi = 0,8165 : 2 = 0,4082. Tā kā gribam salīdzināt savā starpā divus vidējos, ir jāatrod starpības standartkļūda, kuru aprēķina pēc iepriekšējā nodaļā parādītās formulas

Bet, ja pieņem, ka visu vidējo standartkļūdas ir vienādas, tad

Piemērā .

Tā kā dispersijas analīzes pamatjautājums tika pārbaudīts ar nozīmības līmeni , tad ar šo pašu nozīmības līmeni jāpārbauda aritmētisko vidējo starpības nozīmīgums. Tabulās atrod, ka . Pareizinot vidējo starpības standartkļūdu ar koeficientu t, iegūst vismazāko kritisko jeb vismazāko būtisko starpību, ko parasti apzīmē ar simbolu , norādot pie tā nozīmības līmeni:

Par būtiskām ir uzskatāmas tās aritmētisko vidējo starpības, kas pārsniedz šo līmeni. Salīdzinot ar vismazāko kritisko starpību, redzams, ka statistiski nozīmīgi atšķiras darba ražīgums 1. un 3. grupā, turpretī atšķirības blakus esošajās grupās nav nozīmīgas.

Faktiskās aritmētisko vidējo starpības var sakārtot tabulā. Statistiski nozīmīgās starpības tabulā izceļ, tās pasvītrojot vai liekot zvaigznīti.

8.5. tabula

Aritmētisko vidējo starpības


	1	2
	-	1

8.1.5. Analītiskā grupējuma dispersijas analīze

Analītiskos grupējumus parasti publicē tādā formā, kā parādīts 8.6 tabulas pirmajās trīs ailēs. Ja nav pieejami sākotnējie dati, kas izmantoti šī grupējuma izstrādei, vai arī nav iespējams organizēt sākotnējo datu atkārtotu apstrādi, dispersijas analīzi var izmantot grupējumā atspoguļoto sakarību tuvinātai matemātiskai novērtēšanai. Ja sākotnējo datu apstrāde ir iespējama, pētot sakarības starp kvantitatīvām nepārtrauktām pazīmēm, ieteicams izmantot regresijas un korelācijas analīzes metodes, kas ir nākošo grāmatas nodaļu saturs.

8.6. tabula

Analītiskais grupējums, kurš rāda kartupeļu stādījumu platības ietekmi uz ražību,

un starpgrupu noviržu kvadrātu summas aprēķins

Saimniecību	Saimniecību	Vidējā	Aprēķināmie dati
grupas pēc stādījumu platības (ha)	skaits un	ražība un

līdz 8	10	115	- 10	100	1 000
8 - 15	20	120	- 5	25	500
15 - 25	40	120	- 5	25	1 000
25 - 40	20	130	+ 5	25	500
virs 40	10	140	+ 15	225	2 250
K o p ā	100	X	X	X	5 250
V i d ē j i	X	125	X	X	X

Izmantojot analītisko grupējumu (8.6.tabula), var tuvināti aprēķināt starpgrupu jeb izskaidroto noviržu kvadrātu summu. Par statistiskajiem svariem jāņem kopas vienību skaits grupās. Šie svari var nesakrist ar svariem, kuri lietoti, aprēķinot aritmētisko vidējo.

Piemērā, izstrādājot analītisko grupējumu, vidējā ražība būtu jānosaka, par statistiskajiem svariem ņemot nevis saimniecību skaitu, bet sējumu platību. Tā arī parasti dara. Tālāk apstrādājot grupējuma rezultātus, šie statistiskie svari bieži nav zināmi. Tādēļ par svariem jāņem saimniecību skaits grupās. Ja visas saimniecības ir kvalitatīvi vienveidīgas un kopa nav maza, šāda rīcība lielas kļūdas nerada.

Starpgrupu jeb izskaidroto noviržu kvadrātu summas aprēķina vai nu pēc noviržu, vai momentu metodes. Šajā gadījumā ērtāk lietot noviržu metodi, jo grupu skaits ir neliels, kopējais aritmētiskais vidējais ir zināms un grupu vidējo novirzes no kopējā vidējā ir nelieli veseli skitļi. Turpret, lietojot momentu metodi, būtu ļoti lieli skaitļi.

Aprēķini, lietojot noviržu metodi, parādīti 8.6. tabulas pēdējās ailēs. Atsevišķās ailēs aprēķina novirzes , to kvadrātus un šo kvadrātu reizinājumus ar statistiskajiem svariem . Pēdējās ailes summa ir meklētā starpgrupu noviržu kvadrātu summa . Piemērā = 5 250.

Grupējumā var būt nevienādi vai nenoslēgti intervāli, ja vien visu intervālu jeb grupu aritmētiskie vidējie , kā arī visas kopas vidējais ir aprēķināti pareizi. Kā jau bija teikts, dispersijas analīzi var lietot pat tad, ja grupas izdalītas pēc atributīvas pazīmes.

Var aprēķināt brīvības pakāpju skaitu, kas attiecas uz starpgrupu noviržu kvadrātu summu: n_A = k - 1 = 5 - 1 = 4. Līdz ar to ir iespējams aprēķināt dispersiju uz vienu brīvības pakāpi:

Lai atrastu dispersijas analīzei vajadzīgo neizskaidroto jeb intragrupu noviržu kvadrātu summu, vajadzīga kopējā noviržu kvadrātu summa.

Kopējās noviržu kvadrātu summas aprēķināšanai bieži var izmantot datus, kuri publicēti kādā citā tabulā statistisko datu krājumā. Tādi dati parādīti 8.7. tabulas pirmajās divās ailēs. Izmantojot vienam uzdevumam divu dažādu tabulu datus, vienmēr jāpārliecinās, vai tās raksturo vienu un to pašu kopu un vai kopas vienību skaits abās tabulās ir vienāds.

Ja šādi dati ir pieejami, noviržu kvadrātu summu aprēķina pēc noviržu metodes, kā tas parādīts 8.7. tabulas pēdējās trīs ailēs. Arī šis aprēķins ir tuvināts, jo tā pamatā ir pieņēmums, ka saimniecību sadalījums pēc ražības grupu ietvaros ir vienmērīgs.

8.7. tabula

Saimniecību sadalījums pēc kartupeļu ražības

un noviržu kvadrātu summas aprēķins

Saimniecību	Saimniecību	Intervālu	Aprēķināmie dati
grupas pēc ražības (cnt/ha)	skaits	centri

60 ... 80	5	70	- 55	3 025	15 125
80 ... 100	10	90	- 35	1 225	12 250
100 ... 120	30	110	- 15	225	6 750
120 ... 140	25	130	+ 5	25	625
140 ... 160	20	150	+ 25	625	12 500
160 ... 180	10	170	+ 45	2 025	20 250
K o p ā	100	X	X	X	67 500
V i d ē j i	X	125	X	X	X

Piemērā kopējā noviržu kvadrātu summa ir 67 500. Tai atbilst n - 1 = 100 - 1 = 99 brīvības pakāpes. Noviržu kvadrātu summu, kas ar analītisko grupējumu nav izskaidrota, jeb intragrupu noviržu kvadrātu summu aprēķina kā kopējās noviržu kvadrātu summas 67500 un izskaidrotās noviržu kvadrātu summas 5250 starpību. Tātad intragrupu noviržu kvadrātu summa = 67500 - 5250 = 62 250 un ir saistīta ar n_Z = n - k = 100 - 5 = 95 brīvības pakāpēm.

Rēķinot uz vienu brīvības pakāpi, iegūstam, ka , bet dispersiju attiecība .

Šī attiecība jāsalīdzina ar tabulas vērtību, kura atbilst 4 un 95 brīvības pakāpēm.

Izvilkums no tabulas ir šāds (uzrādītas 0,05 un 0,01 nozīmības līmeņiem atbilstošās kritiskās vērtības):

Lielākā noviržu kvadrātu summa atbilst 4 brīvības pakāpēm.

v₁		Nulles hipotēzi, kas apgalvo, ka stādījumu platībai nav būtiskas
	4	ietekmes uz ražību, varētu noraidīt ar varbūtību 0,95, ja faktiskā
v₂		dispersiju attiecība F pārsniegtu 2,47.

95	2,47	Lai to pašu hipotēzi noraidītu ar varbūtību 0,99, šai attiecībai ir
	3,53	jābūt lielākai par 3,53. Piemērā 2,0<2,47<3,53, tādēļ nulles
		hipotēzi ar šādām varbūtībām noraidīt nevar. Kaut gan 8.6. tabulā
		bija redzama vizuāli pārliecinoša sakarība, tā izrādās statistiski

nenozīmīga. Cēlonis ir ļoti lielā neizskaidrotā ražības variācija šīs kopas saimniecībās.

8.2. Daudzfaktoru dispersijas analīze

8.2.1. Daudzfaktoru dispersijas analīzes uzdevumi, veidi

un darba izpildes secība

Ja vienkāršā jeb vienfaktora dispersijas analīze izvērtē vienkāršu analītisku grupējumu, tad daudzfaktoru dispersijas analīzi var uzlūkot par kombinēta analītiska grupējuma izvērtējumu. Sevišķa nozīme daudzfaktoru dispersijas analīzei ir tad, ja pētī atributīvu pazīmju ietekmi uz interesējošo rezultatīvo pazīmi. Tādā gadījumā statistikā plaši lietotā korelācijas un regresijas analīze nav izmantojama.

Daudzfaktoru dispersijas analīze dod atbildi par katra analīzē ieslēgtā faktora statistisko nozīmību. Bez tam var vēl noskaidrot, vai nozīmīga ir šo faktoru mijiedarbība.

Turpmāk apskatīsim divu faktoru dispersijas analīzi, kas ir vienkāršākais daudzfaktoru analīzes gadījums.

Izvirzām šādu uzdevumu.

Speciāla lauksaimniecības institūcija pārbauda produktīvo dzīvnieku kvalitāti, labākos no tiem ieraksta Valsts ciltsgrāmatā un iesaka selekcijas darbā. Piemēram, izrakstīsim datus par trim aitu šķirnēm. Tās nosauc tā teķa vārdā, kurš pirmais nodibinājis šo šķirni. Par katru šķirni ņemam nedaudz aitas, kuras pieder šai šķirnei, un reģistrējam viņu gada vilnas nocirpumu, kg. Lai dati būtu reprezentatīvāki, ņemam trīs gadu datus (skat. 8.8. tabulas centrālā daļā).

Protams, novērojumu (aitu) skaits mūsu uzdevumā ir par mazu praktiski reāliem secinājumiem. Bet, ja novērojumu skaitu ņemtu simtos, kā tas ir praksē, tad visus aprēķinu starprezultātus mācību grāmatas ietvaros nevarētu parādīt.

Izmantojot dotos datus, izvirzām uzdevumu novērtēt :

1) vai dažādu šķirņu aitas pēc produktivitātes atšķiras būtiski;

2) vai atsevišķos gados ir bijusi būtiski atšķirīga aitu produktivitāte

(ņemot visas šķirnes kopā);

3) vai ir būtiska šķirņu un gadu ietekmes mijiedarbība, t.i., vai

kāda šķirne piemērotāka labvēlīgiem un kāda - nelabvēlīgiem gadiem.

Pirmo faktoru - šķirni - apzīmēsim ar simbolu A, otro - gadu efektu - ar B.

Pirmā faktora variantus apzīmēsim ar simboliem A₁, A₂, ..., vispārīgā veidā A_i. Analogi otrā faktora: B₁, B₂, ..., vispārīgā veidā B_i. Aitu numurus vienas šķirnes un gada ietvaros (atkārtojums) apzīmējam ar l₁, l₂, ..., vispārīgā veidā l_e.

8.8. tabula

Nocirpums no vienas aitas gadā, kg (nosacīti dati)

Šķirne	Gads		Aitas (meitas) Nr.2 un nocirpums, kg						Pa rindām aprēķinātie grupu un marginālo grupu lielumi
(teķa vārds)			1.	2.	3.	4.	5.	6.	grupu			marginālo grupu
j

	1.	B₁	6,3	6,1	5,9	7,2	6,8	x	32,3	5	6,46
Misters, A₁	2.	B₂	7,5	7,4	7,0	7,7	7,1	x	36,7	5	7,34	99,7	15	6,65
	3.	B₃	6,0	5,9	5,5	6,8	6,5	x	30,7	5	6,14
	1.	B₁	5,4	5,2	5,7	4,9	5,5	5,0	31,7	6	5,28
Sērs, A₂	2.	B₂	6,2	6,0	6,5	5,0	5,8	5,5	35,0	6	5,83	96,3	18	5,35
	3.	B₃	5,2	5,0	5,5	4,4	5,0	4,5	29,6	6	4,93
	1.	B₁	4,9	4,6	4,2	5,0	x	x	18,7	4	4,68
Lords, A₃	2.	B₂	5,0	4,7	4,6	5,1	x	x	19,4	4	4,85	54,6	12	4,55
	3.	B₃	4,2	4,3	4,0	4,0	x	x	16,5	4	4,12

Pa ailēm aprēķinātie			16,6	15,9	15,8	17,1	12,3	5,0	82,7	15	5,51	x	x	x
grupu un marginālo			18,7	18,1	18,1	17,8	12,9	5,5	91,1	15	6,07	x	x	x
grupu lielumi			15,4	15,2	15,0	15,2	11,5	4,5	76,8	15	5,12	x	x	x
Pa visiem novērojumiem aprēķinātie lielumi			50,7	49,2	48,9	50,1	36,7	15,0	250,6	45	5,57	250,6	45	5,57

Pieņemam, ka vienas šķirnes aitas nav statistiski saistītas ar citu šķirņu aitām; sakām ka novērojumi ir izvietoti nesaistīti jeb nejauši. Tādā gadījumā var lietot dispersijas analīzes vienkāršāko shēmu. Īstenībā var būt, ka dažu šķirņu aitas ir koncentrētas labākās saimniecībās, citu sliktākās. Ja arī to gribētu ņemt vērā, būtu jālieto modificēta dispersijas analīzes shēma, kura praktiski nozīmē ietvert aprēķinos vēl vienu faktoru, piemēram, saimniecības efektu.

Daudzfaktoru dispersijas analīze, tāpat kā vienfaktora dispersijas analīze paredz izpildīt šādus darbus.

1. Noviržu kvadrātu summas Q sadalīšana komponentēs;

tikai komponenšu ir vairāk.

2. Brīvības pakāpju skaita sadalīšana komponentēs.

3. Dispersiju aprēķināšana, noviržu kvadrātu summas dalot

ar attiecīgo brīvības pakāpju skaitu.

4. F attiecību aprēķināšana.

5. Tabulu robežvērtību atrašana, empīrisko F attiecību

salīdzināšana ar robežvērtībām un lēmumu pieņemšana.

Aprēķini ir plašāki un sarežģītāki, jo katrai dispersijas komponentei, kas saistīta ar kādu faktoru vai to kombināciju, ir jārēķina sava F attiecība.

8.2.2. Noviržu kvadrātu summas sadalīšana komponentēs

Noviržu kvadrātu summas var aprēķināt vai nu ar noviržu metodi (definīcijas metode) vai momentu metodi. Pēdējā parasti vienkāršo skaitļošanas darbu. Tomēr loģiski saprotamāka ir noviržu metode. Izmantosim abas metodes, kura katrā gadījumā būs ērtāka.

Izmantojot nesaistīto novērojumu shēmu, noviržu kvadrātu summa ir jāsadala šādās komponentēs:

, (8.11)

kur

Q - kopējā noviržu kvadrātu summa (datu noviržu no kopējā vidējā kvadrātu

summa);

Q_A - noviržu kvadrātu summa, ko izskaidro faktors A (grupu aritmētisko vidējo,

grupējot pēc A, noviržu no kopējā vidējā kvadrātu summa);

Q_B - noviržu kvadrātu summa, ko izskaidro faktors B (grupu aritmētisko vidējo,

grupējot pēc B, noviržu no kopējā vidējā kvadrātu summa);

Q_AB- noviržu kvadrātu summa, kas saistīta ar AB mijiedarbību;

Q_Z - neizskaidrotā noviržu kvadrātu summa (sākotnējo datu noviržu no

elementārgrupu vidējiem kvadrātu summa);

- noviržu kvadrātu summa, ko izskaidro abu faktoru patstāvīgā un

kopiedarbība (tā ir elementārgrupu vidējo lielumu noviržu no kopējā vidējā

kvadrātu summa).

Lai algoritmiski pierakstītu vidējo lielumu un noviržu kvadrātu summu aprēķināšanas formulas, konkrētos novērojumus (datus) apzīmējam ar simbolu , kur i - grupas numurs, grupējot pēc faktora A;

j - grupas numurs, grupējot pēc faktora B;

l - atkārtojuma numurs (piemērā - aitas inventārnumurs).

Aprēķināsim visas vajadzīgās noviržu kvadrātu summas vispirms ar noviržu metodi, kura ir loģiski saprotamāka.

1. Lai aprēķinātu kopējo (parasto) noviržu kvadrātu summu ar noviržu metodi, ir jāaprēķina

(8.12)

resp., jāņem visu novērojumu novirzes no kopējā vidējā, jākāpina kvadrātā un jāsaskaita. Uzdevumā:

(45 saskaitāmie).

2. Lai aprēķinātu faktora A izskaidroto noviržu kvadrātu summu, uzdevumā - noviržu kvadrātu summu, ko izskaidro šķirņu ietekme, ir jāveido vidējo lielumu

novirzes no kopējā vidējā, tās jākāpina kvadrātā, un pareizinot ar novēro-

jumu skaitu, cik katra novirze pārstāv, jāsummē. Ir tik vidējo , cik šķirņu

, (8.13)

kur

-- otrā faktora variantu (gadu) skaits

-- atkārtojumu skaits (vienas šķirnes aitu skaits vienā gadā),

Uzdevumā

3. Faktora B izskaidroto noviržu kvadrātu summu - noviržu kvadrātu summu, ko izskaidro gadu ietekme, aprēķina , veidojot marginālo vidējo novirzes no kopējā vidējā, tās jākāpina kvadrātā un pareizinot ar novērojumu skaitu, cik katra novirze pārstāv, jāsummē. Ir tik marginālo vidējo , cik gadu.

. (8.14)

Uzdevumā

4. Abu faktoru A un B un to mijiedarbības, jeb visu izskaidroto noviržu kvadrātu summu aprēķina, veidojot elementārgrupu vidējo novirzes no kopējā vidējā, kāpinot to kvadrātā un pēc pareizināšanas ar atkārtojumu skaitu saskaitot

. (8.15)

Uzdevumā

5. Abu faktoru mijiedarbības izskaidroto noviržu kvadrātu summu var aprēķināt kā starpību

. (8.16)

Uzdevumā

6. Arī neizskaidroto noviržu kvadrātu summu viegli aprēķināt kā starpību

(8.17)

Uzdevumā

Kontroles nolūkos to var aprēķināt kā sākotnējo datu noviržu kvadrātu summu no elementārgrupu, (ko veido atkārtojumi) vidējiem:

. (8.18)

Uzdevumā

(45 saskaitāmie).

8.2.3. Brīvības pakāpju skaita sadalīšana, dispersiju attiecību aprēķināšana un novērtēšana

Brīvības pakāpju skaitu aprēķina pēc šādām formulām (8.19.):

;

; (8.19)

;

Uzdevumā

;

Dispersijas uz vienu brīvības pakāpi atrod, noviržu kvadrātu summas dalot ar attiecīgo brīvības pakāpju skaitu. F attiecības aprēķina visas atrastās dispersijas dalot ar atlikušo dispersiju . Tā kā šie aprēķini ir vienkārši, rezultātus galīgā veidā sakārtojam dispersijas analīzes tabulā (skat. 8.9. tabulu).

Tabulu robežvērtības jeb F attiecību kritiskās robežas atrod matemātiskajās tabulās atbilstoši izvēlētajai varbūtībai un iepriekš noteiktajam brīvības pakāpju skaitam.

Aplūkojot dispersijas analīzes tabulu, var secināt, ka abu izraudzīto faktoru šķirnes un gada ietekme uz aitu produktivitāti ir statistiski nozīmīga. Faktoru mijiedarbība, kas pārsniegtu to patstāvīgo ietekmi, nav statistiski nozīmīga.

8.2.4. Noviržu kvadrātu summu aprēķināšana

ar momentu metodi

Kā papildus informāciju parādīsim noviržu kvadrātu summu aprēķināšanu ar momentu metodi, neveidojot novirzes.

1. Kopējo jeb parasto noviržu kvadrātu summu Q aprēķina ar formulu

. (8.20)

Tātad vispirms jāaprēķina datu kvadrātu summa

(45 saskaitāmie).

Pārskatāmāk saskaitāmos kvadrātus pierakstīt 8.10. tabulā. Vajadzības gadījumā ir iespējams izmantot datu kvadrātu starpsummas. Tiešo novērojumu summa bija aprēķināta jau 8.8. tabulā. Saskaņā ar formulu kas sakrīt ar iepriekšējo.

Tālākajos aprēķinos vairākkārt būs jāizmanto iepriekšējās formulas lielums

(8.21)

tādēļ nosauksim to par korekcijas lielumu, apzīmēsim ar simbolu c un katru reizi no jauna neaprēķināsim.

Uzdevumā c = 1395,56.

2. Faktora A izskaidroto noviržu kvadrātu summu aprēķina ar formulu

(8.22)

Uzdevumam vajadzīgos datus var atrast 8.8. tabulas 12. ailē:

Neliela atšķirība ar iepriekš aprēķināto izskaidrojama ar starprezultātu noapaļošanu.

3. Faktora B izskaidroto noviržu kvadrātu summu aprēķina ar formulu

(8.23)

Uzdevumam vajadzīgos datus var atrast 8.8. tabulas 9. ailes lejasdaļā

4. Visu faktoru izskaidroto noviržu kvadrātu summu atrod ar formulu

(8.24)

Kvadrātā jākāpina katra atkārtojumu bloka novērojumu datu summa, skat. 8.8. tabulas 9. aili

Pārējās noviržu kvadrātu summas izdevīgi aprēķināt kā starpības, kā parādīts iepriekš.

8.10. tabula

Sākotnējo datu kvadrāti un to summas

Šķirne	Gads	L
A		1.	2.	3.	4.	5.	6.


	B₁	39,69	37,21	34,81	51,84	46,24	x
A₁	B₂	56,25	54,76	49,00	59,29	50,41	x	669,05
	B₃	36,00	34,81	30,25	46,24	42,25	x
	B₁	29,16	27,04	32,49	24,01	30,25	25,00
A₂	B₂	38,44	36,00	42,25	25,00	33,64	30,25	520,43
	B₃	27,04	25,00	30,25	19,36	25,00	20,25
	B₁	24,01	21,16	17,64	25,00	x	x
A₃	B₂	25,00	22,09	21,16	26,01	x	x	250,20
	B₃	17,64	18,49	16,00	16,00	x	x
								465,55
								569,55
								404,58
								1439,68

Variācijas avots	Noviržu kvadrātu summa	Brīvības pakāpju skaits	Dispersija (noviržu kvadrātu summa uz vienu brīvības pakāpi)	Empīriskā F [S1] attiecība

Visa variācija	44,12	44	__	__	__	__

Visi faktori F	38,26	8				2,18

Faktors A (šķirne)	30,85	2				3,23

Faktors B (gads)	6,84	2				3,23

Faktoru mij-iedarbība AB	0,57	2				2,66

Atlikusī neizskaidrotā variācija Z	5,86	2		__	__	__